গণিত ২য় পত্র - বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত – ২য় পত্র বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হল।

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষায় প্রায় প্রতি বছর ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ে বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা থেকে একটি করে প্রশ্ন থাকে । এছাড়া জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় , জগন্নাথ বিশ্ববিদ্যালয় , রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় , চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় , শাহজালাল বিশ্ববিদ্যালয়সহ দেশের বিভিন্ন বিশ্ববিদ্যালয়ে বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা থেকে প্রতি বছর 2-3 টি করে প্রশ্ন থাকে । এসব প্রশ্ন অল্প সময়ে নির্ভুলভাবে সমাধান করার জন্য শর্ট টেকনিক সমন্বয়ে বিভিন্ন টাইপের Math দেওয়া হল ।

ঐতিহাসিক পটভূমি (Historical Background):

সৃষ্টির শুরু থেকেই মানুষের চারপাশে যা কিছু বর্তমান তার হিসাব রাখা এবং গণনার জন্যই মূলত সংখ্যার সৃষ্টি। মানব সমাজের ক্রমবর্ধমান উন্নতির সঙ্গে সঙ্গে সংখ্যার ব্যবহারেরও ক্রমবিকাশ ঘটেছে। আধুনিক বিশ্বের সর্বাধুনিক আবিষ্কার কম্পিউটার এর কর্মপদ্ধতিও তৈরি করা হয় সংখ্যাকে কাজে লাগিয়ে।

সংখ্যার ধারণা অতি প্রাচীন। সংখ্যার উৎপত্তি কখন হয়েছিল তা সঠিকভাবে জানা সম্ভব হয়নি। স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে গণনা শুরু হলেও সময়ের ব্যবধানে নতুন নতুন সংখ্যার লিখন পদ্ধতি পরিপূর্ণরূপে প্রকাশ পেয়েছে। পূর্ণ সংখ্যা ও ভগ্নাংশ নিয়ে মূলদ সংখ্যা গঠিত হয়। মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যা নিয়েই বাস্তব সংখ্যা।

যীশুখৃষ্টের জন্মের প্রায় দুই হাজার বছর পূর্বে সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি হয়েছিল। ইতিহাসবিদদের ধারণা, ভারতীয় ও চীনা দার্শনিকরা পূর্ণসংখ্যার, মিশরীয়রা ভগ্নাংশের ও গ্রীক দার্শনিকরা জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কনের সূচনা করেছিল।

খ্রিষ্টপূর্ব ১০০০ এর মধ্যে মিশরের গণিতবিদগণ সামান্য ভগ্নাংশ (Vulgar fraction) ব্যবহার করেন। খ্রিষ্টপূর্ব (৭৫০-৬৯০) এর মধ্যে ভারতীয় এবং খ্রিষ্টপূর্ব ৫০০ এর মধ্যে গ্রিসের গণিতবিদগণ অমূলদ সংখ্যার ধারণা দেন। ইংরেজ গণিতবিদ জন ওয়ালিস (John Wallies) (১৬১৬খ্রিস্টাব্দ-১৭০৩খ্রিস্টাব্দ) এবং ফ্রেন্স গণিতবিদ পিয়ারে বগার (Pierre Bouguer) (১৬৯৮খ্রিস্টাব্দ-১৭৫৮খ্রিস্টাব্দ) যথাক্রমে ১৬৭০ এবং ১৭৩৪ খ্রিষ্টাব্দে সর্বপ্রথম অসমতার চিহ্ন ( <= এবং >=) ব্যবহার করেন। 

এছাড়া "The Analytical Arts Applied to Solving Algebraic Equations" বইটিতে বৃটিশ গণিতবিদ ও দার্শনিক টমাস হ্যারিয়ট (Thomas Harriot)(১৫৬০খ্রিস্টাব্দ-১৬২১খ্রিস্টাব্দ) বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম চিহ্ন ( < এবং >) ব্যবহার করেন যা ১৬৩১ খ্রিষ্টাব্দে প্রকাশিত হয়।

কসি-সোয়াজ অসমতা (Cauchy-Schwarz inequality) লিনিয়ার অ্যালজ্যাবরায় ও পরিসংখ্যানে খুবই গুরুত্বপূর্ণ অসমতা হিসেবে বিবেচিত হয়।

Hot Topics :
অসমতার পরমমান চিহ্ন
অসমতার পরমমান চিহ্ন ব্যাতীত প্রকাশ
দ্বিঘাত অসমতার সমাধান
মৌলিক সংখ্যা , সহমৌলিক সংখ্যা চিহ্নিত
মূলদ সংখ্যা , অমূলদ চিহ্নিত

পরম মানের ধর্ম –
1.a∈R এর জন্য |a|≥0
2.a∈R এর জন্য |X| ≤a ⇒ −a ≤ X ≤ a,
3.a,b,c ∈ R এর জন্য (a) |ab| = |a| |b|, (b) |abc|=|a||b||c|
4.a,b∈R এর জন্য  ∣∣ab∣∣=∣∣a∣∣b∣∣
5.a, b∈R এর জন্য (a) |a|+|b| ≥ |a+b|, (b) |a|+|b|>|a−b|
6.a,b∈R এর জন্য |a|+|b| ≤ |a−b|

মৌলিক সংখ্যা (Prime number): যে সংখ্যাকে 1 এবং ঐ সংখ্যা ভিন্ন অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। একে P দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন 2,3,5,7 ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা।

Note: 1 কে মৌলিক সংখ্যা ধরা হয় না।

অমৌলিক সংখ্যা (Composite number): স্বাভাবিক সংখ্যার সেটে যে সংখ্যাগুলি মৌলিক নয় তাদের কে অমৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন 4,6,8 ইত্যাদি।

সহমৌলিক সংখ্যা (Coprime Number): দুটি সংখ্যার সাধারন গুণনীয়ক 1 ভিন্ন অন্য কোন সংখ্যা পাওয়া না গেলে তাদেরকে সহমৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন (3,5), (9,10) এবং (14,17) প্রত্যেকটি ক্রমজোড়ই।

মূলদ সংখ্যা: – যে সংখ্যা গুলোকে {p/q; p,q∈Z, q≠0} আকারে প্রকাশ করা যায়, তাদের কে মূলদ সংখ্যা বলে। একে Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অন্যকথায়, কোন সংখ্যাকে সমাপ্ত দশমিক অথবা, আবৃত দশমিকে প্রকাশ করা গেলে, তাকে মূলদ সংখ্যা বলে।

অমূলদ সংখ্যা: – যে সংখ্যা গুলোকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাদের কে অমূলদ সংখ্যা বলে অর্থাৎ বাস্তব সংখ্যা থেকে মূলদ সংখ্যা গুলোকে বাদ দিলে অমূলদ সংখ্যার সেট পাওয়া যায়। এ জন্য একে Q′ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অন্য কথায়, কোন সংখ্যাকে সমাপ্ত বা আবৃত দশমিকে প্রকাশ করা না গেলে তাকে অমূলদ সংখায় বলে।

পূর্ন সংখ্যার সেট – একে Z বা I দ্বারা প্রকাশ করা হয়। পূর্ন সংখ্যার সেট ২ ভাগে ভাগ করা হয়।

১. ধনাত্বক পূর্ন সংখ্যার সেট – একে Z+বা I+ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
Note - ধনাত্বক পূর্ন সংখ্যার সেটকে আবার স্বাভাবিক সংখ্যার সেটও বলা হয়। একে N দ্বারা সূচিত করা হয়।
২. ঋনাত্বক পূর্ন সংখ্যার সেট – একে z−z-বা I−I- দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
Note:- শূন্য (0) ধনাত্বক এবং ঋনাত্বক সংখ্যার মধ্যাবস্থানকারী একটি নিরপেক্ষ অংক। শূন্য কে নিরপেক্ষ সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা হলে শূন্য একটি জোড় সংখা।]

উপর্যুক্ত আলোচনা হতে গৃহীত অনুসিদ্ধান্ত –
1. N⊂Z⊂Q⊂R
2. Q∪Q′=R
3. Q∩Q′=∅

মূলদ সংখ্যা চেনার তিনটি উপায় :
1.যে কোন পূর্ন সংখ্যা মূলদ সংখ্যা। যেমন -3, 0,1, 2 ইত্যাদি
2.কোন সংখ্যায় দশমিক বিন্দুর পরে নিদিষ্ট সংখ্যক অংক থাকলে তা মূলদ সংখ্যা। যেমন 1.12,207.45021, 0.10223 ইত্যাদি
3.কোন সংখ্যার দশমিক বিন্দুর পরের অংশকে আবৃত দশমিকে প্রকাশ করা গেলেতা মূলদ সংখ্যা। যেমন 1.333……., 7.705705705…….,0.102310231023…….. ইত্যাদি

সংখ্যার শ্রেণীবিন্যাস নিম্নে দেওয়া হল –

বিভিন্ন সংখ্যার সেট –
1.সকল বাস্তব সংখ্যার সেট, R = (−∞,∞)
2.মূলদ সংখ্যার সেট, Q = {p/q; p,q∈z; q≠0}
3.অমূলদ সংখ্যার সেট, Q′ বা Qc = {x:x∈R,x∉Q} = R−Q
4.সকল পূর্নসংখ্যার সেট, Z বা I ={0,±1,±2,±3,.............}
5.সকল স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্বক পূর্নসংখ্যার সেট,N বা I+ বা Z+ = { 1, 2, 3, 4.......}
6.সকল অঋনাত্বক পূর্নসংখ্যার সেট, { 0, 1, 2, 3,4.........}
7.ঋনাত্বক পূর্নসংখ্যার সেট,Z− = { −∞,……., −10,…..−2, −1 }

Note– শূন্য (0) ধনাত্বক এবং ঋনাত্বক সংখ্যার মধ্যে অবস্থিত একটি নিরপেক্ষ অংক। R বাস্তব সংখ্যার সেট হলে N⊂Z⊂Q⊂R,Q∪Q′=R,Q∩Q′=(ফাকা সেট)

সীমিত সেট: – ধরি, S একটি বাস্তব সংখ্যার সেট। S সেটটি সীমিত সেট হবে যদি এটি উর্দ্ধসীমিত সেট এবং নিম্নসীমিত সেট হয়। অর্থাৎ S সেটটি সীমিত হবে, যদি দুইটি বাস্তব K সংখ্যা এবং K এরূপ হয়।
Example – S = {1, ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6} সেটটি সীমিত সেট।
Note- Z, Q, R সীমিত সেট নয়।

উর্দ্ধসীমা: – যদি S, বাস্তব সংখ্যার সেট R এর একটি উপসেট এবং সকল x∈S এর জন্য একটি বাস্তব সংখ্যা M বিদ্যমান থাকে যেন হয় x≤M তবে M কে S সেটের একটি উর্দ্ধসীমা বলা হয় এবং S হলো একটি উর্দ্ধসীমিত সেট।
Example: S =(−2,2)⊂R(-2,2)⊂R
এখানে সকল x⊂S, x≤2 সুতরাং S এর একটি উর্দ্ধসীমা 2।
Note - উর্দ্ধসীমার চেয়ে বড় সকল সংখ্যাই সেটের এক একটি উর্দ্ধসীমা।

লঘিষ্ঠ উর্দ্ধসীমা বা সুপ্রিমাম – কোন সেটের উর্দ্ধসীমার মধ্যে সবচেয়ে ছোট অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ঐ সেটের সুপ্রিমাম বলা হয়। কোন সেট S এর সুপ্রিমাম বা লঘিষ্ঠ উর্দ্ধসীমাকে Sup S দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
Example – S =(−2,2)(-2,2) এরসুপ্রিমাম বা লঘিষ্ঠ উর্দ্ধসীমা Sup S = 2

নিম্নসীমা: – যদি S বাস্তব সংখ্যার সেট R এর একটি উপসেট এবং সকল x∈S এর জন্য একটি বাস্তব সংখ্যা M বিদ্যমান থাকে যেন হয়,M≤x তবে M কে S সেটের একটি নিম্নসীমা বলা হয় এবং S হলো একটি নিম্নসীমিত সেট।

Example: S = (−2,2)⊂R এখানে সকল x∈Sx∈S এর জন্য −2≤x-2≤x সুতরাং S এর নিম্নসীমা হলো -2
Note - নিম্নসীমার চেয়ে ছোট সকল সংখ্যাই ঐ সেটের এক একটি নিম্নসীমা।

ইনফিমাম বা গরিষ্ঠ নিম্নসীমা: – কোন সেটের নিম্নসীমার গুলির মধ্যে সবচেয়ে বড় অর্থাৎ বৃহত্তম সংখ্যাকে ঐ সেটের ইনফিমাম বলা হয়। কোন সেট S এর ইনফিমাম Inf S দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
Example : S (−2,2)(-2,2) এর ইনফিমাম হলো Inf S = -2

Type- 1: অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ সম্পর্কিত সমস্যা :
প্রদত্ত অসমতাটির প্রান্তীয় সংখ্যা ২টি যোগ করার পর ২দ্বারা ভাগ করে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তা উভই পক্ষ থেকে বিয়োগ করে সমান সংখ্যা তৈরী করতে পারলেই পরমমান চিহ্ন দিয়ে লেখা যায়।

Example-01: -7 < x < -1 কে পরম মানের সাহায্যে অসমতায় প্রকাশ কর ?

Solution :(-7-1) = -8 , (-8/2) = -4
অথবা, -7+4 < x +4 < -1+4 উভই পক্ষ থেকে (-4) বিয়োগ করে
অথবা, -3 < x+4 < 3
অথবা, |x+4|<3 -="" ans="" br="">
Example-02: -5 < x < 11 কে পরম মানের সাহায্যে অসমতায় প্রকাশ কর ?

Solution : (-5+11)/2 = 3
অথবা,-5-3 < x -3 < 11-3
অথবা, -8 < x -3 < 8
অথবা, |x−3| < 8 Ans -

Type- 2:- অসমতার সমাধান বা পরমমান চিহ্ন ব্যাতীত প্রকাশ সম্পর্কিত সমস্যা :

পরমমান চিহ্নের ভিতরের রাশিটি যথাক্রমে অঋনাত্বক ও ঋনাত্বক বিবেচনা করার পর দুটিকে সমন্বয় করে লিখতে হয় এবং অজ্ঞাত রাশির মান বের করতে হয়।

Example-01: বাস্তব সংখ্যায় |3x−2|≤13x-2≤1 অসমতাটির সমাধান –

Solution :|3x−2|≤1
অথবা, −1 ≤ 3x−2 ≤ 1
অথবা, 1 ≤ 3x ≤ 3
অথবা, 1/3 ≤ x ≤ 1
অথবা, 1/3 ≤ x ≤1 (Ans)

Example-02 : |2−8x|≤6 অসমতাটির সমাধান –

Solution : |2−8x|≤6
অথবা, −6 ≤ 2-8x ≤ 6
অথবা, −6 ≤ −8x ≤ 6
অথবা, -6 ≤-8x ≤ 6
অথবা, −6−2 ≤−8x ≤ 6−2
অথবা, -6-2 ≤-8x ≤ 6-2
অথবা, −8 ≤−8x ≤ 4
অথবা, -8≤-8x ≤ 4
অথবা, 1 ≥ x ≥ −1/2
অথবা, 1 ≥ x ≥ -1/2
অর্থাৎ −1/2 ≤ x ≤ 1
Ans

Type- 3: দ্বিঘাত অসমতার সমাধান নির্ণ্য় সম্পর্কিত সমস্যা :
প্রথমে ax2 + bx + c দ্বিঘাত রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষন করে (x মান 1) (x মান 2) কারে সাজাবে। এর পর অসমতার সম্পর্কানুযায়ী মানদ্বয়ের সাথে x এর ব্যাবধি বের করবে। অসমতা দিয়ে থাকলে মান এবং (∩) দিয়ে বৈধ সম্পর্কের মাধ্যমে আসবে। অসমতা > দিয়ে থাকলে মান অথবা (∪) দিয়ে অবৈধ সম্পর্কের মাধ্যমে আসবে। ছোট মানের চেয়ে বড় এবং বড় মানের চেয়ে ছোট এরূপ মানের বৈধ সম্পর্ক এবং ছোট মানের চেয়ে ছোট কিন্তু বড় মানের চেয়ে বড় এরূপ মানকে অবৈধ সম্পর্ক হিসাবে বিবেচনা করা
যেমন : 5 < x < 8 একটি বৈধ সম্পর্ক, আবার x > 4 অথবা x < -6 একটি অবৈধ সম্পর্ক

Example-01: 5x – x2 – 6 > 0 হলে x এর মান কত?

Solution :5x – x2x2 – 6 > 0
অথবা, x2 -5x +6 < 0
অথবা, (x-3) (x-2) < 0
অথবা, 2 < x < 3 (Ans)

Example-02: x –x2x2 + 6 < 0 হলে x এর মান কত?
Solution :x – x^2 + 6 < 0
অথবা, x2 – x - 6 > 0
অথবা, (x -3) (x+2) > 0
অথবা, (x-3) {x- (-2)} > 0
অথবা, x < -2 or, x > 3 (Ans)


বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা (Real numbers and Inequalities in Bengali)

প্রশ্ন-১। বাস্তব সংখ্যা কাকে বলে?
উত্তরঃ সকল মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা (Real Number) বলে। বাস্তব সংখ্যার সেটকে R দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রশ্ন-২। বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা কোন ধরনের সংখ্যা?
উত্তরঃ বাস্তব।

প্রশ্ন-৩। বাস্তব সংখ্যাকে কয় শ্রেণীতে ভাগ করা যায়?
উত্তরঃ বাস্তব সংখ্যাকে দুই শ্রেণীতে ভাগ করা যায়। যথাঃ ১.মূলদ সংখ্যা এবং ২.অমূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন-৪। 1 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সকল ধনাত্মক সেট আবদ্ধ কোন ক্ষেত্রে?
উত্তরঃ গুণন ক্ষেত্রে।

প্রশ্ন-৫। স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural number) কাকে বলে?
উত্তরঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয় অর্থাৎ N = {1, 2, 3,…… }।

প্রশ্ন-৬। অ-ঋণাত্বক পূর্ণসংখ্যা কাকে বলে?
উত্তরঃ শূন্য (0) সহ সকল স্বাভাবিক সংখ্যাকে অ-ঋণাত্বক পূর্ণসংখ্যা বলে।

প্রশ্ন-৭। মৌলিক সংখ্যা (Prime number) কাকে বলে?
উত্তরঃ 1 ব্যতীত যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা কেবলমাত্র ঐ সংখ্যা ও 1 দ্বারা বিভাজ্য, ঐ সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। সকল মৌলিক সংখ্যার সেটকে P দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রশ্ন-৮। ঋণাত্বক সংখ্যা (Negative number) কাকে বলে?
উত্তরঃ শূন্য (0) অপেক্ষা ছোট সংখ্যাগুলোকে ঋণাত্বক সংখ্যা বলে।

প্রশ্ন-৯। ঋণাত্বক পূর্ণসংখ্যা কাকে বলে?
উত্তরঃ শূন্য (0) অপেক্ষা ছোট পূর্ণসংখ্যাকে ঋণাত্বক পূর্ণসংখ্যা বলে।

প্রশ্ন-১০। বাস্তব সংখ্যার সেট কাকে বলে?
উত্তরঃ সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা নিয়ে গঠিত সেটকে বাস্তব সংখ্যার সেট (Set of real numbers) বলে। অর্থাৎ প্রত্যেক মূলদ বা অমূলদ সংখ্যাই এক একটি বাস্তব সংখ্যা। বাস্তব সংখ্যার সেটকে R দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রশ্ন-১১। অসমতা কি? (What is inequality?)
উত্তরঃ অসমতা এমন এক প্রকার গাণিতিক বাক্যের প্রকাশ যা সংখ্যা, পরিমাণ বা গাণিতিক বাক্যের ক্রমের সম্পর্ক নির্দেশ করে।

প্রশ্ন-১২। ব্যবধি কি?
উত্তরঃ যদি a ও b দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং a < b হয় তবে a ও b এর মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা নিয়ে গঠিত সেটকে বাস্তব সংখ্যা a ও b এর ব্যবধি বলা হয়।

প্রশ্ন-১৩। ব্যবধি কত প্রকার?
উত্তরঃ ব্যবধি ৪ প্রকার।

প্রশ্ন-১৪। ইনফিমাম (গরিষ্ঠ নিম্নসীমা) কি?
উত্তরঃ কোনো সেটের নিম্নসীমাগুলির মধ্যে সবচেয়ে বড় অর্থাৎ, বৃহত্তম সংখ্যাকে ঐ সেটের ইনফিমাম (গরিষ্ঠ নিম্নসীমা) বলা হয়। উদাহরণ : S = (-1, 1) এর ইনফিমাম (গরিষ্ঠ নিম্নসীমা) হলো -1।

প্রশ্ন-১৫। সুপ্রিমাম (লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা) Supremum (Least upper bound) কী?
উত্তরঃ কোনো সেটের ঊর্ধ্বসীমাগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ঐ সেটের সুপ্রিমাম (লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা) বলা হয়। উদাহরণ : S = (− 1, 1) এর সুপ্রিমাম (লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা) হলো 1।

প্রশ্ন-১৬। বাস্তব রেখা কী? (What is real line?)
উত্তরঃ সকল বাস্তব সংখ্যাই অসীম দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর অবস্থিত। এ নির্দিষ্ট রেখাটিকে সংখ্যারেখা বা বাস্তব রেখা (real line) বলা হয়।