গণিতের জ্যামিতি -(সরলরেখা - ২ )

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ গণিতের জ্যামিতি -সরলরেখা ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হল।

সরলরেখার প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. অন্ত: বিভক্ত: P ও Q বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে R বিন্দুটি `m_1 : m_2` অণুপাতে অন্ত:বিভক্ত করলে
R বিন্দুর স্থানাক্ত = `\(\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\)`
2. বহি: বিভক্ত: P ও Q বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে R বিন্দুটি `m_1 : m_2` অণুপাতে বহির্বিভক্ত করলে
R বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাক্ত = `\(\frac{m_1x_2-m_2x_1}{m_1-m_2},\frac{m_1y_2-m_2y_1}{m_1-m_2}\)`
3. ABC ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় `A(x_1, y_1)` , `B(x_2, y_2)` ও `C(x_3, y_3)`হলে-
মধ্যমাত্রেয়র ছেদবিন্দু/ভরকেন্দ্র = `\(\frac{x_1+x_2+x_3}3,\frac{y_1+y_2+y_3}3\)`
4. ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = `\frac{1}{2}\|x_1y_2\–\x_2y_1\+\x_2y_3\–\x_3y_2\+\x_3y_1\–\x_1y_3\|`

Type – 1 : কোনো রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় -

`(x_1, y_1)` ও `(x_2, y_2)` বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা `m_1 : m_2` অনুপাতে বিভক্ত হলে-

ক) অন্ত: বিভক্ত:
P ও Q বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে R বিন্দুটি `m_1 : m_2` অণুপাতে অন্ত:বিভক্ত করলে
R বিন্দুর স্থানাক্ত = `\(\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\)`

ক) বহি: বিভক্ত:
P ও Q বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে R বিন্দুটি `m_1 : m_2` অণুপাতে বহির্বিভক্ত করলে
বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাক্ত = `\(\frac{m_1x_2-m_2x_1}{m_1-m_2},\frac{m_1y_2-m_2y_1}{m_1-m_2}\)`

উদাহরণ- ০১ : (3, 7) ও (6, 10) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে যে বিন্দুটি দুটি 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান : মনেকরি, অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুটি দুটির স্থানাঙ্ক, `(\alpha,\beta)`.
∴ `\alpha = \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}`
= `\frac{2.6+1.3}{2+1}`
= `\frac{12+3}{3}`
= `\frac{15}{3}`
= 5
এবং `\beta = \frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\ `
= `\frac{2.10+1.7}{2+1}`
= `\frac{20+7}{3}`
= `\frac{27}{3}`
= 9
∴নির্ণেয় অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাংক, (5, 9). উত্তর :

উদাহরণ- ০২ : (3, 7) ও (6, 10) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে যে বিন্দুটি দুটি 2 : 1 অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান : মনেকরি, বহির্বিভক্তকারী বিন্দুটি দুটির স্থানাঙ্ক, `(\alpha,\beta)`.
∴ `\alpha = \frac{m_1x_2-m_2x_1}{m_1-m_2}`
= `\frac{2.6-1.3}{2-1}`
= `\frac{12-3}{1}`
= `\frac{9}{1}`
= 9
এবং `\beta = \frac{m_1y_2-m_2y_1}{m_1-m_2}\ `
= `\frac{2.10-1.7}{2-1}`
= `\frac{20-7}{1}`
= `\frac{13}{1}`
= 13
∴নির্ণেয় বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাংক, (9, 13). উত্তর :

অনুরুপ প্রশ্ন :
উদাহরণ- ০৩ : A(3, 4)এবং B(5,9) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুুটি 2 : 3 অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে, তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ- ০৪ : (7, 5) ও (-2, -1) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ- ০৫ : A(-2, 4) এবং B(4, -5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশ AB কে C পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন AB =3BC হয়। C বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ- ০৬ : A, B, C ও D এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1, -8), (-3, 4), (0, 7)ও (3, 16). AB কে CD রেখাংশটি যে অনুপতে ভাগ করে তা বের কর।

Type – 2 :ভরকেন্দ্র নির্ণয় -
ABC ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় `A(x_1, y_1)` , `B(x_2, y_2)` ও `C(x_3, y_3)`হলে-
মধ্যমাত্রেয়র ছেদবিন্দু/ভরকেন্দ্র = `\(\frac{x_1+x_2+x_3}3,\frac{y_1+y_2+y_3}3\)`
Note: ভরকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্বকেন্দ্র সমরেখ এবং লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোগ রেখাকে ভরকেন্দ্র 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

উদাহরণ- ০১ : (6,4) ভরকেন্দ্র বিশিষ্ট ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষ (2,7),(6,1) হলে, তৃতীয় শীর্ষ?
সমাধান : ধরি, তৃতীয় শীর্ষবিন্দুটির স্থানাঙ্ক,`(x, y)`
∴ ভরকেন্দ্র = `\(\frac{x_1+x_2+x_3}3,\frac{y_1+y_2+y_3}3\)`
বা, (6,4) = `\(\frac{2+6+x_3}3,\frac{7+1+y_3}3\)`
∴ `\frac{2+6+x_3}3` = 6
বা, `\frac{8+x_3}3` = 6
বা, `8+x_3` = 3.6
বা, `x_3` = 18-8
∴ `x_3`= 10

এবং `\frac{7+1+y_3}3\ ` = 4
বা, `\frac{8+y_3}3` = 4
বা, `8+y_3` = 3.4
বা, `y_3` = 12-8
∴ `y_3`= 4
∴নির্ণেয় ভরকেন্দ্র, (10,4) উত্তর :

অনুরুপ প্রশ্ন :
উদাহরণ- ০২ : একটি ত্রিভুজের দুইটিশীর্ষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 7), (6, 1)এবংভরকেন্দ্র (6, 4); তৃতীয়শীর্ষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

Type – 3 : শীর্ষত্রয়ের মাধ্যমে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় -
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = `\frac{1}{2}\|x_1y_2\–\x_2y_1\+\x_2y_3\–\x_3y_2\+\x_3y_1\–\x_1y_3\|`
Note:
(i) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যাতে ঋণাত্মক সংখ্যা না হয়, সে জন্য A, B, C শীর্ষ তিনটিকে অবশ্যই ঘড়ির কাটার ঘূর্ণনের বিপরীত ক্রমানুসারে নিতে হবে। ক্ষেত্রফল ঋণাত্মক হলে এর সংখ্যা মান গ্রহণ করতে হবে।
(ii) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ব্যবহার করে চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হলে একে যে কোন কর্ণ দ্বারা দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে উভয় ত্রিভুজের শীর্ষগুলি একইক্রমে গ্রহণ করতে হবে।
∴ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি (যদি বিন্দু চারটি চতুর্ভুজ গঠন করে)
(iii) `A(x_1, y_1)` , `B(x_2, y_2)` ও `C(x_3, y_3)` বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে, যদি ও কেবল যদি তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়।

উদাহরণ- ০১ : (-4, 3), (-1, -2) এবং (3, -2) বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, প্রদত্ত ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় A(-4, 3), B(-1, -2) এবং C(3, -2)
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = `\frac{1}{2}\|x_1y_2\–\x_2y_1\+\x_2y_3\–\x_3y_2\+\x_3y_1\–\x_1y_3\|`
= `\frac{1}{2}\|(-4).(-2)–(-1).3 +(-1).3–3.(-2)+3.(-4)–(-4).(-2)|`
= `\frac{1}{2}\|8+3-3+6-12–8|`
= `\frac{1}{2}\|17-23|`
= `\frac{1}{2}\|-5|`
= `\frac{1}{2}\5` বর্গ একক
`\frac{5}{2}\ `বর্গ একক উত্তর :

অনুরুপ প্রশ্ন :
উদাহরণ- ০২ : (2, -2), (5, k) এবং (-1, -4) বিন্দ ুতিনটি সমরেখ হলে k এর মান নির্ণয় কর।
উদাহরণ- ০৩ : একটি ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলি A(x,y), B(1,2) ও C(2,1) এবং এর ক্ষেত্রফল 6 বর্গ একক হলে, দেখাও যে,x+y = 15.
উদাহরণ- ০৪ : যদি একটি আয়তক্ষেত্র ABCD এর তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে A(3, 2), B(2, -1), C(8,-3) হয়, তবে এর চতুর্থ শীর্ষ বিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক এবং আয়ত ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।