ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ গণিতের ক্যালকুলাস থেকে যোগজীকরণ বা সমাকলন ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
গণিত (ক্যালকুলাস – যোগজীকরণ বা সমাকলন)
যোগজীকরণ বা সমাকলন:যোগজীকরণ বা সমাকলন হল অন্তরীকরণের বিপরীত বা প্রতি অন্তরক প্রক্রিয়া এবং এ বিবৃতিটি ` \int f(x)\{dx}=g(x)+c ` সংকেত দ্বারা লিখি। এখানে ` \int ` প্রতীকটি লম্বা S বুঝায়। কারণ S অক্ষরটি আবার Summation শব্দটির প্রথম অক্ষর। কাজেই এ প্রতীকটি সমাকলনের জন্য ব্যবহার করা হয়। c ইচ্ছামূলক রæবক বা সমাকলন / যোগজীকরনের ধ্রæবক(Arbitary Constant) বলা হয়। অনির্দিষ্ট যোগজীকরনের ক্ষেত্রে যোগজীকরন ধ্রæবক c অবশ্যই লিখতে হবে।
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
যোগজীকরন প্রক্রিয়া অন্তরীকরণ প্রক্রিয়ার বিপরীত এবং এ দুইটির মধ্যে সম্পর্ক দেখানোর জন্য নিচে কতগুলি ফাংশনের অন্তরীকরণ ও যোগজীকরন দুইটি দেওয়া হলো।
অন্তরীকরনের প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. ` \frac{\ d}{\dx}(c)=0 `
2. ` \frac{\d}{\dx}{c.f(x)} ` = ` c.\frac{\d}{\dx}{f(x)} `
3. ` \frac{\d}{\dx}(x^n) =nx^{n-1} `
4. ` \frac{\d}{\dx}(\sin\x)=\cos x `
5. ` \frac{\d}{\dx}(\cos\x)= - \sin x `
6. ` \frac{\d}{\dx}(\tan\x)=\sec^2 x `
7. ` \frac{\d}{\dx}(\sec\x)=\secx . tanx`
8. ` \frac{\d}{\dx}(\cot\x)= -\cosec^2 x `
9. ` \frac{\d}{\dx}(\cosec\x)= -\cosecx . cotx`
10. ` \frac{\d}{\dx}(e^x) = e^x `
11. ` \frac{\d}{\dx}(\ln\x)= \frac1x `
12. ` \frac{\d}{\dx} (a^x) = a^x lna `
যোগজীকরনের প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. ` \int x^n\dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c `
2. ` \int c.x^n\dx= c.\int x^n\dx +c `
3. ` \int \frac{1}{x}dx= ln(x)+ c `
4. ` \int sinx dx= -cos x + c `
5. ` \int cosx dx= sin x + c`
6. ` \int sec^2x dx= tan x + c`
7. ` \int cosec^2x dx= -cot x + c`
8. ` \int secx tanx dx = sec x + c`
9. ` \int cosecx cotx dx= -cosec x + c`
10. ` \int e^x dx = e^x + c `
11. ` \int \frac1x dx = \frac1x + c `
12. `\int a^x dx = \frac{a^x}{lna} +c `
Type – 1 : যোগজীকরনের প্রাথমিক সূত্রাবলি -
উদাহরণ- ০১ : `\int (x^3 + 3x +5) dx ` =?
সমাধান : `\int (x^3 + 3x +5) dx `
= `\int x^3 dx + \int 3x dx + \int 5 dx `
= `\int x^3 dx + 3\int x dx + 5 \int dx `
= `\frac{x^{3+1}}{3+1} + 3\frac{x^{1+1}}{1+1} + 5 \frac{x^{0+1}}{0+1} +c `
= `\frac{x^4}{4} + 3\frac{x^2}{2} + 5 x + c ` উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : `\int (x^3 + x ) dx ` =?
উদাহরণ- ০৩ : `\int {x^3 + 3(x +5)} dx ` =?
উদাহরণ- ০৪: `\int frac{4}{x^4} dx ` =?
Type – 2 : ত্রিকোনমিতিক সূত্র প্রয়োগ করে-
উদাহরণ- ০১ : সমাকলন নির্ণয় কর: `\int sec^2 x cosec^2 x dx `
সমাধান : `\int sec^2 x cosec^2 x dx `
= `\int sec^2 x(1+ cot^2 x) dx `
= `\int (sec^2 x + sec^2 x .cot^2 x) dx `
= `\int (sec^2 x + \frac1{\cos^2x}.\frac{\cos^2x}{\sin^2x}) dx `
= `\int (sec^2 x + cosec^2 x) dx `
= ` tanx - cotx + c` উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : সমাকলন নির্ণয় কর: `\int 5 cos 4x sin 3 x dx `
উদাহরণ- ০৩ : `\int sin^2 x cos2x dx ` =?
উদাহরণ- ০৪: `\int \frac1{1+\cos x} dx ` এর অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয় কর?
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
গণিত (ক্যালকুলাস – যোগজীকরণ বা সমাকলন)
যোগজীকরণ বা সমাকলন:যোগজীকরণ বা সমাকলন হল অন্তরীকরণের বিপরীত বা প্রতি অন্তরক প্রক্রিয়া এবং এ বিবৃতিটি ` \int f(x)\{dx}=g(x)+c ` সংকেত দ্বারা লিখি। এখানে ` \int ` প্রতীকটি লম্বা S বুঝায়। কারণ S অক্ষরটি আবার Summation শব্দটির প্রথম অক্ষর। কাজেই এ প্রতীকটি সমাকলনের জন্য ব্যবহার করা হয়। c ইচ্ছামূলক রæবক বা সমাকলন / যোগজীকরনের ধ্রæবক(Arbitary Constant) বলা হয়। অনির্দিষ্ট যোগজীকরনের ক্ষেত্রে যোগজীকরন ধ্রæবক c অবশ্যই লিখতে হবে।
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
যোগজীকরন প্রক্রিয়া অন্তরীকরণ প্রক্রিয়ার বিপরীত এবং এ দুইটির মধ্যে সম্পর্ক দেখানোর জন্য নিচে কতগুলি ফাংশনের অন্তরীকরণ ও যোগজীকরন দুইটি দেওয়া হলো।
অন্তরীকরনের প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. ` \frac{\ d}{\dx}(c)=0 `
2. ` \frac{\d}{\dx}{c.f(x)} ` = ` c.\frac{\d}{\dx}{f(x)} `
3. ` \frac{\d}{\dx}(x^n) =nx^{n-1} `
4. ` \frac{\d}{\dx}(\sin\x)=\cos x `
5. ` \frac{\d}{\dx}(\cos\x)= - \sin x `
6. ` \frac{\d}{\dx}(\tan\x)=\sec^2 x `
7. ` \frac{\d}{\dx}(\sec\x)=\secx . tanx`
8. ` \frac{\d}{\dx}(\cot\x)= -\cosec^2 x `
9. ` \frac{\d}{\dx}(\cosec\x)= -\cosecx . cotx`
10. ` \frac{\d}{\dx}(e^x) = e^x `
11. ` \frac{\d}{\dx}(\ln\x)= \frac1x `
12. ` \frac{\d}{\dx} (a^x) = a^x lna `
যোগজীকরনের প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. ` \int x^n\dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c `
2. ` \int c.x^n\dx= c.\int x^n\dx +c `
3. ` \int \frac{1}{x}dx= ln(x)+ c `
4. ` \int sinx dx= -cos x + c `
5. ` \int cosx dx= sin x + c`
6. ` \int sec^2x dx= tan x + c`
7. ` \int cosec^2x dx= -cot x + c`
8. ` \int secx tanx dx = sec x + c`
9. ` \int cosecx cotx dx= -cosec x + c`
10. ` \int e^x dx = e^x + c `
11. ` \int \frac1x dx = \frac1x + c `
12. `\int a^x dx = \frac{a^x}{lna} +c `
Type – 1 : যোগজীকরনের প্রাথমিক সূত্রাবলি -
উদাহরণ- ০১ : `\int (x^3 + 3x +5) dx ` =?
সমাধান : `\int (x^3 + 3x +5) dx `
= `\int x^3 dx + \int 3x dx + \int 5 dx `
= `\int x^3 dx + 3\int x dx + 5 \int dx `
= `\frac{x^{3+1}}{3+1} + 3\frac{x^{1+1}}{1+1} + 5 \frac{x^{0+1}}{0+1} +c `
= `\frac{x^4}{4} + 3\frac{x^2}{2} + 5 x + c ` উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : `\int (x^3 + x ) dx ` =?
উদাহরণ- ০৩ : `\int {x^3 + 3(x +5)} dx ` =?
উদাহরণ- ০৪: `\int frac{4}{x^4} dx ` =?
Type – 2 : ত্রিকোনমিতিক সূত্র প্রয়োগ করে-
উদাহরণ- ০১ : সমাকলন নির্ণয় কর: `\int sec^2 x cosec^2 x dx `
সমাধান : `\int sec^2 x cosec^2 x dx `
= `\int sec^2 x(1+ cot^2 x) dx `
= `\int (sec^2 x + sec^2 x .cot^2 x) dx `
= `\int (sec^2 x + \frac1{\cos^2x}.\frac{\cos^2x}{\sin^2x}) dx `
= `\int (sec^2 x + cosec^2 x) dx `
= ` tanx - cotx + c` উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : সমাকলন নির্ণয় কর: `\int 5 cos 4x sin 3 x dx `
উদাহরণ- ০৩ : `\int sin^2 x cos2x dx ` =?
উদাহরণ- ০৪: `\int \frac1{1+\cos x} dx ` এর অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয় কর?
Tags
HSC Math