ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ.এস.সি বা উচ্চমাধ্যমিকের আইসিটি অধ্যায়-৩.৫ : সংখ্যাপদ্ধতি ও ডিজিটাল ডিভাইস এর বুলিয়ান অ্যালজেবরা নিয়ে আলোচনা করা হলো
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
আইসিটি অধ্যায়-৩.৫ : সংখ্যাপদ্ধতি ও ডিজিটাল ডিভাইস
বুলিয়ান অ্যালজেবরাঃ যদি আমাদের চলকের মান শুধু দুইটি সংখ্যা ১ বা ০, এর মধ্যে সীমাবদ্ধথাকে তাহলে আমরা সেই অ্যালজেবরাকে বলব বুলিয়ান অ্যালজেবরা।
এখানে ১ বা ০ বলতে সাংখ্যিক মান বোঝানো হয় না। এখানে লজিকালমান সত্য আর মিথ্যা কে বোঝানো হয়। ১ দিয়ে বোঝানো হয় সত্য আর ০ দিয়ে বোঝানো হয় মিথ্যা। জর্জ বুলের নামানুসারে ঐ অ্যালজেবরার নামকরণ করা হয় বুলিয়ান অ্যালজেবরা।
বুলিয়ান অ্যালজেবরার বৈশিষ্ট্যঃ
১। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় মাত্র দুটি অঙ্ক ‘০’ এবং ‘১’ ব্যবহৃত হয়।
২। বুলিয়ান চলকের দুটি মান থাকায় বুলিয়ান অ্যালজেবরা দশমিক অ্যালজেবরার তুলনায় অনেক সহজ পদ্ধতি।
৩। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় কোনো ধরনের ভগ্নাংশ, লগারিদম, বর্গ, ঋণাত্মক সংখ্যা, কাল্পনিক সংখ্যা ইত্যাদি ব্যবহার করা যায় না।
৪। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় শুধু মাত্র যোগ ও গুণের মাধ্যমে সমস্ত গাণিতিক কাজ করা যায়। ৫। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় কোনো ধরনের জ্যামিতিক বা ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করা যায় না।
বুলিয়ান চলকঃ বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যার মান সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় তাকে বুলিয়ান চলক বলে। যেমন- C = A + B, এখানে A ও B হচ্ছে বুলিয়ান চলক।
বুলিয়ান ধ্রুবকঃ বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যার মান সময়ের সাথে অপরিবর্তিত থাকে তাকে বুলিয়ান ধ্রুবক বলে। যেমন- A = 0 + 1, এখানে 0 এবং 1 হচ্ছে বুলিয়ান ধ্রুবক।
ধ্রুবকের মান সব সময় অপরিবর্তিত থাকে কিন্তু চলকের মান সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয়। বিভিন্ন ইলেকট্রনিক বর্তনীর ইনপুট ও আউটপুটের লজিক অবস্থা নির্দিষ্ট করার জন্য বুলিয়ান চলক ও ধ্রুবক ব্যবহার করা হয়।
বুলিয়ান পূরক: বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যেকোনো চলকের মান ০ অথবা ১ হয়। এই ০ এবং ১ কে একটি অপরটির বুলিয়ান পূরক বলা হয়। বুলিয়ান পূরকে ‘–’ বা ‘ ‘ ’ চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। গণিতের ভাষায় লেখা হয় A এর পূরক A′।
বুলিয়ান অ্যালজেবরা তিন ধরনের মৌলিক যুক্তিমূলক ক্রিয়া সম্পাদন করে। ক্রিয়াগুলো হলো−
১। অর অপারেশন (OR Operation) বা যৌক্তিক যোগ (Logical Addition)
২। অ্যান্ড অপারেশন (AND Operation) বা যৌক্তিক গুণ (Logical Multiplication)
৩। নট অপারেশন (NOT Operation) বা যৌক্তিক উল্টানো (Logical Inversion)
বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ বুলিয়ান অ্যালজেবরায় সমস্ত গাণিতিক কাজ করা হয় যৌক্তিক যোগ এবং যৌক্তিক গুণের সাহায্যে। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় শুধুমাত্র যৌক্তিক যোগ ও যৌক্তিক গুণের নিয়মগুলোকে বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ গুলোকে দু ভাগে ভাগ করা যায়। যথা:
১। যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Postulates of OR)
২। গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Postulates of AND)
যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ যোগের সময় বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাকে যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। যোগের সময় বুলিয়ান চলকগুলোর মানের মধ্যে যে যোগ চিহ্ন (+) ব্যবহার করা হয় তা প্রচলিত যোগের চিহ্ন নয়। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় এ যোগ চিহ্নকে লজিক্যাল যোগ হিসেবে ব্যবহার করা হয়। যোগের চারটি নিয়ম প্রচলিত। যথা−
(1) 0 + 0 = 0
(2) 0 + 1 = 1
(3) 1 + 0 = 1
(4) 1 + 1 = 1
উপরের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ থেকে বলা যায় যে, বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যোগের ক্ষেত্রে যেকোনো একটির মান ১ হলে যোগফল ১ হবে, অন্যথায় ০ হবে।
গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ: গুণের সময় বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাকে গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। গুণের সময় বুলিয়ান চলকগুলোর মানের মধ্যে গুণ চিহ্ন (.) ব্যবহার করা হয়। লজিক গুণের চারটি নিয়ম প্রচলিত। যথা:
(1) 0 . 0 = 0
(2) 0 . 1 = 0
(3) 1 . 0 = 0
(4) 1 . 1 = 1
উপরের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ থেকে বলা যায় যে, বুলিয়ান অ্যালজেবরায় গুণের ক্ষেত্রে যেকোনো একটির মান ০ হলে গুণফল ০ হবে, অন্যথায় ১ হবে।
বুলিয়ান দ্বৈতনীতি: বুলিয়ান অ্যালজেবরায় ব্যবহৃত সকল উপপাদ্য বা সমীকরণ যে দুটি নিয়ম মেনে একটি বৈধ্য সমীকরণ থেকে আর একটি বৈধ্য সমীকরণ নির্ণয় করা যায় তাকে বুলিয়ান দ্বৈতনীতি বলে। অর্থাৎ বুলিয়ান অ্যালজেবরায় অর (OR) এবং অ্যান্ড (AND) এর সাথে সম্পর্কযুক্ত সকল উপপাদ্য বা সমীকরণ দ্বৈতনীতি মেনে চলে। এ নিয়ম দু টি হলো −
১। ০ এবং ১ পরস্পর বিনিময় করে অর্থাৎ ০ এর পরিবর্তে ১ এবং ১ এর পরিবর্তে ০ ব্যবহার করে।
২। অর (+) এবং অ্যান্ড (.) পরস্পর বিনিময় করে অর্থাৎ অর (+) এর পরিবর্তে অ্যান্ড (.) এবং অ্যান্ড (.) এর পরিবর্তে অর (+) ব্যবহার করে।
উদাহরণ: ১ + ১ = ১ সমীকরণে ১ এর পরিবর্তে ০ এবং (+) এর পরিবর্তে (.) বসিয়ে পাই ০.০ = ০ এটাও একটি বৈধ্য সমীকরণ। আবার ০.১ = ০ সমীকরণে ০ এর পরিবর্তে ১ ও ১ এর পরিবর্তে ০ এবং (.) এর পরিবর্তে (+) বসিয়ে পাই ১ + ০ =১ এটাও একটি বৈধ্য সমীকরণ।
সত্যক সারণি: লজিক সার্কিটে এক বা একাধিক ইনপুটের উপর লজিক সার্কিটের আউটপুট নির্ভর করে। সুতরাং যে সারণির মাধ্যমে লজিক সার্কিটের ইনপুটের সাপেক্ষে আউটপুট প্রদর্শন করা হয়, তাকে সত্যক সারণি বলে। প্রতিটি লজিক গেইটের সত্যক সারণি ভিন্ন। যদি সত্যক সারণিতে n সংখ্যক চলক থাকে তবে ইনপুট এর অবস্থা হবে 2n সংখ্যক।
উদাহরনঃ একটি অর লজিক গেইটের ইনপুট চলক A ও B এর সাপেক্ষে আউটপুট ফাংশন F= A+B এর সত্যক সারণি দেখানো হল। যেহেতু চলক দুইটি(A ও B) তাই ইনপুট অবস্থা ২২=৪ টি হবে।
দ্বি-মানের বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে স্বতঃসিদ্ধসমূহের প্রমাণ সত্যক সারণী বা Truth টেবিল-১, ২, ৩ ও ৪ এর মাধ্যমে দেখানো হলোঃ
১। উপরোক্ত টেবিল হতে দেখা যায় যে, প্রতিটি লজিক্যাল অপারেশনের ফলাফল 1 অথবা 0। যেখানে 1, 0∈B অর্থাত 1এবং 0 উভয়ে সেট B এর উপাদান সুতরাং দ্বি-মানের বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে + ও . অপারেটরের সাপেক্ষে Closure প্রমাণিত।
২। উপরোক্ত টেবিল হতে দেখা যায় যে, (ক) 0+0=0, 0+1=1+0=1 এবং (খ) 1.1=1, 1.0=0.1=0 সুতরাং হান্টিংটনের ২ নং Postulate প্রমাণিত।
৩। বিনিময় সূত্র বাইনারী অপারেটর টেবিলের স্বাভাবিক নিয়মতান্ত্রিকতার মাধ্যমে প্রমাণিত।
৪। বিতরণ সূত্র X.(Y+Z)=(X.Y)+(X.Z) এবং X+(Y.Z)=(X+Y).(X+Z) প্রমাণের জন্য নিম্নের টেবিল-৪ প্রত্যক্ষ করি –
উপরোক্ত টেবিলের মাধ্যমে দেখা যায় X, Y এবং Z এর সম্ভাব্য সকল মানের ক্ষেত্রে সর্বদা X.(Y+Z)=(X.Y)+(X.Z) এবং X+(Y.Z)=(X+Y).(X+Z) প্রমাণিত।
৫। (ক) যখন X=0 তখন 0+0ʹ=0+1=1 আবার যখন X=1 তখন 1+1ʹ=1+0=1 সুতরাং X এর সকল মানের জন্য X+X̅=1 প্রমাণিত।
(ক) যখন X=0 তখন 0.0ʹ=0.1=0 আবার যখন X=1 তখন 1.1ʹ=1.0=0 সুতরাং X এর সকল মানের জন্য X.X̅=0 প্রমাণিত।
৬। টু-ভ্যাল্যূড বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে কেবল দুটি নির্দিষ্ট উপাদান 0 এবং 1 আছে যেখানে 0≠1, সুতরাং টু-ভ্যাল্যূড বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে Huntington এর ৬নং Postulate সিদ্ধ।
বুলিয়ান উপপাদ্যঃ যেসব উপপাদ্য ব্যবহার করে জর্জ বুল সকল প্রকার যুক্তিসংগত বিষয়ের গাণিতিক রুপ প্রদান করেন সেই উপপাদ্য গুলোকে বুলিয়ান উপপাদ্য বলা হয়।
মৌলিক উপপাদ্যঃ
ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যঃ
প্রথম উপপাদ্যঃ যেকোন সংখ্যক চলকের যৌক্তিক যোগের কমপ্লিমেন্ট প্রত্যেক চলকের কমপ্লিমেন্টের যৌক্তিক গুণনের সমান।
দ্বিতীয় উপপাদ্যঃ যেকোন সংখ্যক চলকের যৌক্তিক গুণের কমপ্লিমেন্ট প্রত্যেক চলকের কমপ্লিমেন্টের যৌক্তিক যোগের সমান।
A ও B দুটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য দুটি নিম্নরূপ−
A ও B দুইটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যের প্রমাণঃ
A ,B ও C তিনটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য দুটি নিম্নরূপ−
A ,B ও C তিনটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যের প্রমাণঃ
প্রতিটি বিষয়ের নোট ও সাজেশান্স ডাউনলোড করতে অসুবিধা হলে আমাদের ফেসবুক পেজে ইনবক্স করো। শিক্ষার্থীরা নোট ,সাজেশান্স ও নতুন নতুন ভিডিও সবার আগে পেতে আমাদের চ্যানেলটি সাবস্ক্রাইব SUBSCRIBE করতে পারো এই লিংক থেকে।
আজই জয়েন করুন বাংলাদেশের লার্নিং প্ল্যাটফর্মে ( ওয়েভ স্কুল বিডি )
শিক্ষক হিসেবে জয়েন করুন
রেকর্ডেড/লাইভ প্রোগ্রাম করতে পারো
অ্যাফিলিয়েট হতে চাইলে
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
আইসিটি অধ্যায়-৩.৫ : সংখ্যাপদ্ধতি ও ডিজিটাল ডিভাইস
বুলিয়ান অ্যালজেবরাঃ যদি আমাদের চলকের মান শুধু দুইটি সংখ্যা ১ বা ০, এর মধ্যে সীমাবদ্ধথাকে তাহলে আমরা সেই অ্যালজেবরাকে বলব বুলিয়ান অ্যালজেবরা।
এখানে ১ বা ০ বলতে সাংখ্যিক মান বোঝানো হয় না। এখানে লজিকালমান সত্য আর মিথ্যা কে বোঝানো হয়। ১ দিয়ে বোঝানো হয় সত্য আর ০ দিয়ে বোঝানো হয় মিথ্যা। জর্জ বুলের নামানুসারে ঐ অ্যালজেবরার নামকরণ করা হয় বুলিয়ান অ্যালজেবরা।
বুলিয়ান অ্যালজেবরার বৈশিষ্ট্যঃ
১। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় মাত্র দুটি অঙ্ক ‘০’ এবং ‘১’ ব্যবহৃত হয়।
২। বুলিয়ান চলকের দুটি মান থাকায় বুলিয়ান অ্যালজেবরা দশমিক অ্যালজেবরার তুলনায় অনেক সহজ পদ্ধতি।
৩। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় কোনো ধরনের ভগ্নাংশ, লগারিদম, বর্গ, ঋণাত্মক সংখ্যা, কাল্পনিক সংখ্যা ইত্যাদি ব্যবহার করা যায় না।
৪। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় শুধু মাত্র যোগ ও গুণের মাধ্যমে সমস্ত গাণিতিক কাজ করা যায়। ৫। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় কোনো ধরনের জ্যামিতিক বা ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করা যায় না।
বুলিয়ান চলকঃ বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যার মান সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় তাকে বুলিয়ান চলক বলে। যেমন- C = A + B, এখানে A ও B হচ্ছে বুলিয়ান চলক।
বুলিয়ান ধ্রুবকঃ বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যার মান সময়ের সাথে অপরিবর্তিত থাকে তাকে বুলিয়ান ধ্রুবক বলে। যেমন- A = 0 + 1, এখানে 0 এবং 1 হচ্ছে বুলিয়ান ধ্রুবক।
ধ্রুবকের মান সব সময় অপরিবর্তিত থাকে কিন্তু চলকের মান সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয়। বিভিন্ন ইলেকট্রনিক বর্তনীর ইনপুট ও আউটপুটের লজিক অবস্থা নির্দিষ্ট করার জন্য বুলিয়ান চলক ও ধ্রুবক ব্যবহার করা হয়।
বুলিয়ান পূরক: বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যেকোনো চলকের মান ০ অথবা ১ হয়। এই ০ এবং ১ কে একটি অপরটির বুলিয়ান পূরক বলা হয়। বুলিয়ান পূরকে ‘–’ বা ‘ ‘ ’ চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। গণিতের ভাষায় লেখা হয় A এর পূরক A′।
বুলিয়ান অ্যালজেবরা তিন ধরনের মৌলিক যুক্তিমূলক ক্রিয়া সম্পাদন করে। ক্রিয়াগুলো হলো−
১। অর অপারেশন (OR Operation) বা যৌক্তিক যোগ (Logical Addition)
২। অ্যান্ড অপারেশন (AND Operation) বা যৌক্তিক গুণ (Logical Multiplication)
৩। নট অপারেশন (NOT Operation) বা যৌক্তিক উল্টানো (Logical Inversion)
বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ বুলিয়ান অ্যালজেবরায় সমস্ত গাণিতিক কাজ করা হয় যৌক্তিক যোগ এবং যৌক্তিক গুণের সাহায্যে। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় শুধুমাত্র যৌক্তিক যোগ ও যৌক্তিক গুণের নিয়মগুলোকে বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ গুলোকে দু ভাগে ভাগ করা যায়। যথা:
১। যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Postulates of OR)
২। গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Postulates of AND)
যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ যোগের সময় বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাকে যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। যোগের সময় বুলিয়ান চলকগুলোর মানের মধ্যে যে যোগ চিহ্ন (+) ব্যবহার করা হয় তা প্রচলিত যোগের চিহ্ন নয়। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় এ যোগ চিহ্নকে লজিক্যাল যোগ হিসেবে ব্যবহার করা হয়। যোগের চারটি নিয়ম প্রচলিত। যথা−
(1) 0 + 0 = 0
(2) 0 + 1 = 1
(3) 1 + 0 = 1
(4) 1 + 1 = 1
উপরের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ থেকে বলা যায় যে, বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যোগের ক্ষেত্রে যেকোনো একটির মান ১ হলে যোগফল ১ হবে, অন্যথায় ০ হবে।
গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ: গুণের সময় বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাকে গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। গুণের সময় বুলিয়ান চলকগুলোর মানের মধ্যে গুণ চিহ্ন (.) ব্যবহার করা হয়। লজিক গুণের চারটি নিয়ম প্রচলিত। যথা:
(1) 0 . 0 = 0
(2) 0 . 1 = 0
(3) 1 . 0 = 0
(4) 1 . 1 = 1
উপরের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ থেকে বলা যায় যে, বুলিয়ান অ্যালজেবরায় গুণের ক্ষেত্রে যেকোনো একটির মান ০ হলে গুণফল ০ হবে, অন্যথায় ১ হবে।
বুলিয়ান দ্বৈতনীতি: বুলিয়ান অ্যালজেবরায় ব্যবহৃত সকল উপপাদ্য বা সমীকরণ যে দুটি নিয়ম মেনে একটি বৈধ্য সমীকরণ থেকে আর একটি বৈধ্য সমীকরণ নির্ণয় করা যায় তাকে বুলিয়ান দ্বৈতনীতি বলে। অর্থাৎ বুলিয়ান অ্যালজেবরায় অর (OR) এবং অ্যান্ড (AND) এর সাথে সম্পর্কযুক্ত সকল উপপাদ্য বা সমীকরণ দ্বৈতনীতি মেনে চলে। এ নিয়ম দু টি হলো −
১। ০ এবং ১ পরস্পর বিনিময় করে অর্থাৎ ০ এর পরিবর্তে ১ এবং ১ এর পরিবর্তে ০ ব্যবহার করে।
২। অর (+) এবং অ্যান্ড (.) পরস্পর বিনিময় করে অর্থাৎ অর (+) এর পরিবর্তে অ্যান্ড (.) এবং অ্যান্ড (.) এর পরিবর্তে অর (+) ব্যবহার করে।
উদাহরণ: ১ + ১ = ১ সমীকরণে ১ এর পরিবর্তে ০ এবং (+) এর পরিবর্তে (.) বসিয়ে পাই ০.০ = ০ এটাও একটি বৈধ্য সমীকরণ। আবার ০.১ = ০ সমীকরণে ০ এর পরিবর্তে ১ ও ১ এর পরিবর্তে ০ এবং (.) এর পরিবর্তে (+) বসিয়ে পাই ১ + ০ =১ এটাও একটি বৈধ্য সমীকরণ।
সত্যক সারণি: লজিক সার্কিটে এক বা একাধিক ইনপুটের উপর লজিক সার্কিটের আউটপুট নির্ভর করে। সুতরাং যে সারণির মাধ্যমে লজিক সার্কিটের ইনপুটের সাপেক্ষে আউটপুট প্রদর্শন করা হয়, তাকে সত্যক সারণি বলে। প্রতিটি লজিক গেইটের সত্যক সারণি ভিন্ন। যদি সত্যক সারণিতে n সংখ্যক চলক থাকে তবে ইনপুট এর অবস্থা হবে 2n সংখ্যক।
উদাহরনঃ একটি অর লজিক গেইটের ইনপুট চলক A ও B এর সাপেক্ষে আউটপুট ফাংশন F= A+B এর সত্যক সারণি দেখানো হল। যেহেতু চলক দুইটি(A ও B) তাই ইনপুট অবস্থা ২২=৪ টি হবে।
দ্বি-মানের বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে স্বতঃসিদ্ধসমূহের প্রমাণ সত্যক সারণী বা Truth টেবিল-১, ২, ৩ ও ৪ এর মাধ্যমে দেখানো হলোঃ
১। উপরোক্ত টেবিল হতে দেখা যায় যে, প্রতিটি লজিক্যাল অপারেশনের ফলাফল 1 অথবা 0। যেখানে 1, 0∈B অর্থাত 1এবং 0 উভয়ে সেট B এর উপাদান সুতরাং দ্বি-মানের বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে + ও . অপারেটরের সাপেক্ষে Closure প্রমাণিত।
২। উপরোক্ত টেবিল হতে দেখা যায় যে, (ক) 0+0=0, 0+1=1+0=1 এবং (খ) 1.1=1, 1.0=0.1=0 সুতরাং হান্টিংটনের ২ নং Postulate প্রমাণিত।
৩। বিনিময় সূত্র বাইনারী অপারেটর টেবিলের স্বাভাবিক নিয়মতান্ত্রিকতার মাধ্যমে প্রমাণিত।
৪। বিতরণ সূত্র X.(Y+Z)=(X.Y)+(X.Z) এবং X+(Y.Z)=(X+Y).(X+Z) প্রমাণের জন্য নিম্নের টেবিল-৪ প্রত্যক্ষ করি –
৫। (ক) যখন X=0 তখন 0+0ʹ=0+1=1 আবার যখন X=1 তখন 1+1ʹ=1+0=1 সুতরাং X এর সকল মানের জন্য X+X̅=1 প্রমাণিত।
(ক) যখন X=0 তখন 0.0ʹ=0.1=0 আবার যখন X=1 তখন 1.1ʹ=1.0=0 সুতরাং X এর সকল মানের জন্য X.X̅=0 প্রমাণিত।
৬। টু-ভ্যাল্যূড বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে কেবল দুটি নির্দিষ্ট উপাদান 0 এবং 1 আছে যেখানে 0≠1, সুতরাং টু-ভ্যাল্যূড বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে Huntington এর ৬নং Postulate সিদ্ধ।
বুলিয়ান উপপাদ্যঃ যেসব উপপাদ্য ব্যবহার করে জর্জ বুল সকল প্রকার যুক্তিসংগত বিষয়ের গাণিতিক রুপ প্রদান করেন সেই উপপাদ্য গুলোকে বুলিয়ান উপপাদ্য বলা হয়।
মৌলিক উপপাদ্যঃ
প্রথম উপপাদ্যঃ যেকোন সংখ্যক চলকের যৌক্তিক যোগের কমপ্লিমেন্ট প্রত্যেক চলকের কমপ্লিমেন্টের যৌক্তিক গুণনের সমান।
দ্বিতীয় উপপাদ্যঃ যেকোন সংখ্যক চলকের যৌক্তিক গুণের কমপ্লিমেন্ট প্রত্যেক চলকের কমপ্লিমেন্টের যৌক্তিক যোগের সমান।
A ও B দুটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য দুটি নিম্নরূপ−
A ও B দুইটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যের প্রমাণঃ
A ,B ও C তিনটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য দুটি নিম্নরূপ−
A ,B ও C তিনটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যের প্রমাণঃ
প্রতিটি বিষয়ের নোট ও সাজেশান্স ডাউনলোড করতে অসুবিধা হলে আমাদের ফেসবুক পেজে ইনবক্স করো। শিক্ষার্থীরা নোট ,সাজেশান্স ও নতুন নতুন ভিডিও সবার আগে পেতে আমাদের চ্যানেলটি সাবস্ক্রাইব SUBSCRIBE করতে পারো এই লিংক থেকে।
আজই জয়েন করুন বাংলাদেশের লার্নিং প্ল্যাটফর্মে ( ওয়েভ স্কুল বিডি )
শিক্ষক হিসেবে জয়েন করুন
রেকর্ডেড/লাইভ প্রোগ্রাম করতে পারো
অ্যাফিলিয়েট হতে চাইলে
Tags
HSC ICT