আইসিটি অধ্যায়-৩.৩ : সংখ্যাপদ্ধতি ও ডিজিটাল ডিভাইস

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ.এস.সি বা উচ্চমাধ্যমিকের আইসিটি অধ্যায়-৩.২ : সংখ্যাপদ্ধতি ও ডিজিটাল ডিভাইস এর বাইনারি থেকে অক্ট্যাল এবং হেক্সাডেসিমেল-এ রূপান্তর, অক্ট্যাল এবং হেক্সাডেসিমেল থেকে বাইনারিতে রুপান্তর, অক্ট্যাল এবং হেক্সাডেসিমেল-এ আবার হেক্সাডেসিমেল থেকে অক্ট্যাল সংখ্যা পদ্ধতিতে রুপান্তর নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন 
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি 
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

আইসিটি অধ্যায়-৩.৩ : সংখ্যাপদ্ধতি ও ডিজিটাল ডিভাইস


Type-3: বাইনারি থেকে অক্ট্যাল এবং হেক্সাডেসিমেল-এ রূপান্তর, অক্ট্যাল এবং হেক্সাডেসিমেল থেকে বাইনারিতে রুপান্তর, অক্ট্যাল এবং হেক্সাডেসিমেল-এ আবার হেক্সাডেসিমেল থেকে অক্ট্যাল সংখ্যা পদ্ধতিতে রুপান্তর

বাইনারী যোগঃ
প্রচলিত বাইনারী যোগের নিয়ম –
1+1=0 এবং হাতে থাকে 1 যা পরের সারিতে (বামে) যোগ করতে হবে।
0+1=1
0+0=0
এখন উপরোক্ত নিয়ম অনুযায়ী যদি নিচের বড় বাইনারী যোগটি করতে হয় তাহলে হাতে কত থাকছে এটা অনেক সময় ভূল হতে পারে এবং সময় সাপেক্ষ। কিন্তু যদি আমরা ডানদিকের প্রথম কলামের যোগ করি অর্থাৎ ডানদিকের প্রথম কলামে মোট 5 টি বিট রয়েছে একে বাইনারীর ভিত্তি 2 দ্বারা ভাগ করে ভাগফলটি হাতে রাখি এবং অবশিষ্ট 1 যোগফলের ঘরে অর্থাৎ প্রথম কলামের নিচে নামিয়ে দিই এবং হাতের 2 বা দুইটি বিট পরের কলামের সংগে যোগ করি একই নিয়মে মোট বিট সংখ্যাকে বাইনারী বেস্‌ 2 দ্বারা ভাগ করে আবারও ভাগফল হাতে রাখি এবং অবশিষ্ট যোগের কলামে বা সারিতে নামিয়ে দিই তাহলে যোগফল মিলে যাবে। একই নিয়মে পরের কলামের বাইনারী বিটগুলি সহজে যোগ করে ফেলতে পারি। সবশেষে যখন বামদিকে আর কোন যোগ করার মত কলাম থাকবে না তখন ভাগফল যদি বেসের বা ভিত্তির চেয়ে ছোট হয় তবে সরাসরি তা যোগফলের ঘরে নামাতে হবে আর যদি বড় তাহলে পুনরায় বেস দ্বারা ভাগ করে উপরের নিয়মে নামিয়ে আসতে হবে।

নিচের বাইনারী যোগটি উদাহরণ হিসাবে দেওয়া হল –
1 1 1 1 1
1 0 1 0 1
1 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
যে নিয়মে বেস দ্বারা ভাগ করব – সরাসরি দশমিক পদ্ধতির মত এখানে বাইনারী বেস বা ভিত্তি 2দ্বারা প্রথম বামদিকের কলামের বিটগুলির যোগফল 5 কে ভাগ করেছি –
অর্থাৎ 2 ) 5 ( 2 ভাগফল অর্থাৎ বাইনারীর দুইটি বিট।
4
1 অবশিষ্ট উপরোক্ত নিয়মে বাইনারী যোগ করলে ভূল হবার কোন সম্ভাবনা নেই।

বাইনারী বিয়োগঃ  প্রচলিত বাইনারী বিয়োগের নিয়ম-
1-1=0
1-0=1
0-1=1
পরের বাঁ দিকের কলাম বা সারি থেকে 1 ধার নিতে হবে ।
কিন্তু বাইনারী বিয়োগ এখানে যেভাবে দশমিক পদ্ধতির বিয়োগ করে থাকি সেভাবেই সহজে করতে পারি। যেমন দশমিকের ক্ষেত্রে উপরের উপরের সংখ্যাটি যদি নিচের সংখ্যাটি অপেক্ষা ছোট থাকে তাহলে আমরা উপরের সাথে ঐ সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি কত সেটি ধার নিই যেমন এখানে 10 ধার নিই এবং পরের কলামের নিচে যে বেসটি ধার নেওয়া হয়েছে অর্থাৎ 1 বেস সেটি নিচে যোগ করে দিই। পরের সারিতে আবারও যদি উপরের সংখ্যাটি ছোট হয় তখন একইভাবে বেস ধার নিই।

বাইনারী বিয়োগের উদাহরণ-
1 1 0 0
1 0 1 1
(0 0 0 1)2
বিয়োগটির ক্ষেত্রে ডানদিকের প্রথম কলামে উপরের বিটটি 0 অর্থাৎ নিচেরটির বিটটির চেয়ে ছোট সেইহেতু বাইনারী বেস অর্থাৎ 2 উপরে যোগ করে নিব তাহলে নিচের 1 ওর সাথে বিয়োগ করলে 1 নামবে এবং হাতে একটি বেস থাকবে যা পরের কলামের নিচে যোগ করতে হবে এবং উপরে আবারাও ছোট হলে বেস যোগ করে নিতে হবে একই নিয়মে চলতে থাকবে এবং বিয়োগ সহজে মিলে যাবে।

 বাইনারী গুনঃ বাইনার গুন দশমিক গুণের অনুরূপ- উদাহরণ-
 1 1 0 1 1 × 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 × 1 1 0 1 1 × . 1 0 1 1 1 1 0 1
উপরোক্ত বাইনারী গুণটি করার পর যোগের সময় আগের নিয়ম অনুসরণ করা হয়েছে যা অতি সহজে সম্ভব হয়েছে।

অকটাল যোগঃ উদাহরণ-
7 6 5 4 3 4 6 7 2 1 3 0 7 2 3 5 6 1 5 3 (2 5 4 5 6 2)8
উপরের অকটাল যোগটির ক্ষেত্রেও আমরা দশমিক যোগের পদ্ধতির অনুরূপ পদ্ধতি অনুসরণ করেছি। ডানদিকের প্রথম কলামে আছে 3+1+3+3=10 অর্থাৎ যোগ করে পেয়েছি 10 যাকে অকটালের বেস বা ভিত্তি 8 দ্বারা ভাগ করেছি এতে ভাগফল 1 হাতে রেখেছি এবং অবশিষ্ট 2 যোগফলের ঘরে নামিয়ে দিয়েছি এভাবে পরবর্তী কলামগুলোর যোগ করেছি এবং হাতে থাকা অংকটি তার সাথে যোগ করে অকটাল বেস দ্বারা ভাগ করে ভাগফল হাতে রেখে অবশিষ্ট যোগফলের নামিয়ে যোগ করতে করতে বামের কলামগুলোর যোগ সম্পন্ন করেছি। এভাবে শেষের ঘরটির ভাগফল যখন বেসের চেয়ে ছোট হয়েছে তখন সরাসরি তা যোগফলের ঘরে বসিয়ে যোগের কাজ সম্পন্ন করেছি। এতে ভূল হবার কোনরকম সম্ভবনা নেই।

 অকটাল বিয়োগঃ
 7 3 2 – 4 5 6 ( 2 5 4)8
উপরের অকটাল বিয়োগটির ক্ষেত্রে আমরা দশমিকের মত পদ্ধতি অনুসরণ করতে পারি, ডানদিকের প্রথম কলামে যেহেতু উপরের অংকটি ছোট অর্থাৎ উপরে 2এবং নিচে বড় 6 এক্ষেত্রে বিয়োগ করার জন্য উপরেরটির সাথে অকটালের বেস বা ভিত্তি 8 যোগ করে নিচেরটির সাথে বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে 4, সেটি বিয়োগফলের ঘরে বসিয়ে দিতে হবে এবং একটি বেস ধার নেওয়ার কারনে পরবর্তী কলামের নিচে ঐ 1 যোগ করে নিতে হবে, আবারও যদি উপরের অংকটি ছোট থাকে তাহলে একই নিয়মে বেস যোগ করে তার সাথে নিচেরটি বিয়োগ করলে বিয়োগফল মিলে যাবে।

 অক্টাল গুনঃ
 7 5 6 ×5 4 3 . 2 7 1 2 3 6 7 0 × 4 6 4 6 × . (5 2 6 4 1 2)8
 উপরের গূনটি কি করে করলাম। এখানে খেয়াল রাখতে হবে অংকটি অকটাল পদ্ধতির। তাই এখানে অকটাল বেস ব্যবহার করতে হবে। প্রথমে 6 কে 3 দ্বারা গুন করেছি এবং পেয়েছি 18 যাকে আবার অকটালের বেস 8 দ্বারা ভাগ করেছি ফলে ভাগফল হয়েছে 2 এবং অবশিষ্ট থেকেছে 2 যা গুনফলের ঘরে বসিয়েছি। দশমিকের ক্ষেত্রে 18 হলে 10দ্বারা ভাগ করতাম তাতে হাতে থাকত 1 এবং অবশিষ্ট 8 গুনফলের ঘরে নামিয়ে দিতাম। এরপর 5কে 3 দ্বারা গুন করেছি এবং হাতের 2 এর সাথে যোগ করে আবারও 8 দ্বারা ভাগ করে ভাগফল হাতে রেখেছি এবং অবশিষ্ট গুনফলের ঘরে বসিয়েছি। সবশেষে অকটাল পদ্ধতির যোগ করে গুনফলটি সম্পন্ন করেছি।

 হেক্সাডেসিমাল যোগঃ হেক্সাডেসিমালের বেস বা ভিত্তি হচ্ছে 16 যথা 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. একই পদ্ধতি অনুসরণ করে আমরা হেক্সাডেসিমাল যোগ করতে পারি- উদাহরণ-
 A B C A B C . A B C . (2 0 3 4)16
উপরের যোগটির ক্ষেত্রে ডানদিকের প্রথম কলামে যেহেতু C = 12 অতএবC+C+C = 36 কে হেক্সাডেসিমাল বেস 16 দ্বারা ভাগ করে ভাগফলটি অর্থাৎ 2 হাতে রাখব এবং অবশিষ্ট 4 যোগফলের ঘরে নামিয়ে দিব এবং পরবর্তী ঘরের তিনটি B যোগ করে তার সাথে হাতে রাখা 2 যোগ করে 35 যাকে আবার 16 দ্বারা ভাগ করে অবশিষ্ট 3 যোগফলের ঘরে নামিয়ে দিয়েছি। পরবর্তী ঘরের তিনটি A যোগ করে হয়েছে 30 যার সাথে হাতে রাখা 2 যোগ করে যার পেয়েছি 32। এখন একে হেক্সাডেসিমাল বেস 16 দ্বারা ভাগ করে ভাগফল পেয়েছি 2 এবং অবশিষ্ট 0 যা যোগফলের ঘরে বসিয়েছি এবং ভাগফলের 2 বা হাতে থাকা 2 যা বেসের চেয়ে ছোটহওয়ায় তা যোগফলের ঘরে নামিয়ে দিয়ে যোগর কাজ সমাপ্ত করেছি। এই পদ্ধতিতে অতি তাড়াতাড়ি যে কোন হেক্সাডেসিমাল যোগ করা যায়। তবে মনে রাখতে হবে যে- 10 অবশিষ্ট থাকলে A, 11 থাকলে B, 12 থাকলে C, 13 থাকলে D, 14 থাকলে E এবং 15 থাকলে F যোগফলের ঘরে নামাতে হবে। তবে ভাগফলের ক্ষেত্রে যেটা আসবে সেটা সরাসরি হাতে রাখতে হবে ঐটির ক্ষেত্রে মান বসানোর দরকার নেই কারণ ওটি হচ্ছে কতটি বেস তার সংখ্যা। 

হেক্সাডেসিমাল বিয়োগঃ হেক্সাডেসিমাল বিয়োগের ক্ষেত্রে একই নিয়ম অর্থাৎ দশমিকে যেভাবে তার বেস উপরে ছোট হলে যোগ করতে হয় এখানেও ঠিক তেমনিভাবে করতে হবে। উদাহরণ-
 7 D B . – 3 F E . 3 D D
 উপরের উদাহরণটিতে দেখা যায় ডানদিকের প্রথম কলামের উপরে রয়েছে B অর্থাৎ 11 এবং নিচে রয়েছে E অর্থাৎ 14, যেহেতু উপরেরটি নিচেরটির চেয়ে ছোট সেইহেতু হেক্সাডেসিমালের বেস অর্থাৎ 16 উপরেরটির সাথে যোগ করতে হবে তাতে পাওয়া যাবে মোট 27 এবং এ থেকে 14 বিয়োগ করলে পাওয়া যাবে 13 যা সমান হবে Dএকে বিয়োগফলের ঘরে বসাতে হবে এবং পরবর্তী ঘরের নিচেরটির সাথে দশমিক পদ্ধতির অনুরূপ 1 অর্থাৎ একটি বেস যোগ করতে হবে আবারও যদি উপরেরটি নিচেরটির অপেক্ষা ছোট হয় তবে একই পদ্ধতি অনুসরণ করে বিয়োগের কাজ সম্পূর্ণ করতে হবে। 

হেক্সাডেসিমাল গুনঃ নিচের গুনটি হেক্সাডেসিমাল পদ্ধতিতে করা হয়েছে-
 A B × A B . 7 5 9 6 A E × . ( 7 2 3 9)16
 উপরের হেক্সাডেসিমাল গুণের ক্ষেত্রে প্রথমে B×B গুণ করেছি অর্থাৎ 11×11 = 121 গুণফলকে হেক্সাডেসিমাল বেস 16 দ্বারা ভাগ করে ভাগফল 7 হাতে রেখেছি এবং অবশিষ্ট 9 গুণফলের ঘরে নামিয়েছি, এরপর A×B গুণ হাতে থাকা 7 যোগ করে আবারও বেস দ্বারা ভাগ করে ভাগফল হাতে রেখে অবশিষ্ট গুণফলের ঘরে নামিয়ে হাতে রাখা অংকটি বেসের চেয়ে কম হওয়ায় সরাসরি নামিয়ে প্রথম লাইনটির গুণ সম্পূর্ণ করেছি। একইভাবে দ্বিতীয় লাইনটির গুণের কাজ সম্পূর্ণ করেছি। এরপর হেক্সাডেসিমাল পদ্ধতি অনূসরণ করে যোগের কাজ সম্পূর্ণ করেছি।

 বিঃ দ্রঃ উপরোক্ত পদ্ধতি অনুসরণ করে যদি বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতির যোগ ইত্যাদি করা যায় তবে তাতে ভূল সম্ভবনা কম থাকবে আশাকরি এবং সহজে সম্পন্ন করা যাবে।

কমপ্লিমেন্ট বা পূরক এর ধারণাঃ
কোন কিছুর সংখ্যা বা পরিমান যা একটি নির্দিষ্ট পরিমান পূর্ণ করতে প্রয়োজন হয় তাকে পূরক বা কমপ্লিমেন্ট বলা হয়। অন্য কথায় পূরক বলতে পূর্ণ পরিমান হতে ঘাটতি বুঝায়। ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের ভাষায় কোন একটি অংক হতে ঐ সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি পূরণ করতে যে পরিমান ঘাটতি থাকে তাই উক্ত অংকের পূরক। যেমনঃ দশমিক পদ্ধতিতে 7 এর পূরক 3 কারন দশমিক সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি 10 পূর্ণ করতে 7 এর নিকট এখনো (10–7)10=3 ঘাটতি রয়েছে । সুতরাং 7 এর 10’s কমপ্লিমেন্ট হলো 3 । আবার বাইনারী সংখ্যা পদ্ধতিতে 1 এর 2’s কমপ্লিমেন্ট হলো 1 কারণ বাইনারী সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি 2 পূর্ণ করতে 1 এর নিকট এখনো (10–1)2=1 ঘাটতি রয়েছে।

কমপ্লিমেন্ট বা পূরকের প্রকারঃ
ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সে দুই ধরণের কমপ্লিমেন্ট বা পূরকের ব্যবহার দেখা যায়ঃ
১। r’s কমপ্লিমেন্ট এবং
২। (r – 1)’s কমপ্লিমেন্ট
এখানে r হলো সংখ্যা পদ্ধতির Radix বা ভিত্তি। যদি সংখ্যা পদ্ধতিটি বাইনারী হয় তবে তার ভিত্তি 2 এবং এই সংখ্যা পদ্ধতির পূরক দুটি হবে 2’s কমপ্লিমেন্ট এবং (2 – 1)’s বা 1’s কমপ্লিমেন্ট। যদি সংখ্যা পদ্ধতিটি অকট্যাল হয় তবে তার ভিত্তি 8 এবং এই সংখ্যা পদ্ধতির পূরক দুটি হবে 8’s কমপ্লিমেন্ট এবং (8–1)’s বা 7’s কমপ্লিমেন্ট। অনুরূপভাবে যদি সংখ্যা পদ্ধতিটি ডেসিম্যাল হয় তবে তার ভিত্তি 10 এবং এই সংখ্যা পদ্ধতির পূরক দুটি হবে 10’s কমপ্লিমেন্ট এবং (10–1)’s বা 9’s কমপ্লিমেন্ট। এভাবে সকল সংখ্যা পদ্ধতির দুটি করে পূরক পদ্ধতি থাকবে r’s কমপ্লিমেন্ট এবং (r–1)’s কমপ্লিমেন্ট।

r’s কমপ্লিমেন্ট এর ধারণাঃ
যদি একটি ধণাত্বক সংখ্যা N এর ভিত্তি r এবং সংখ্যাটিতে n টি পূর্ণ সংখ্যার ডিজিট থাকে তবে সংখ্যাটির r’s কমপ্লিমেন্ট হবে rn–N, যেখানে N ≠ 0 এবং যখন N = 0 তখন r’s কমপ্লিমেন্ট = 0 । এক্ষেত্রে অবশ্যই r >1 হতে হবে, অর্থাত সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি 1 অপেক্ষা বড় হলে সূত্রটি প্রযোজ্য হবে। নিচের উদাহরণসমূহ লক্ষণীয়ঃ

উদাহরণ – ১: (23450)10 এর 10’s কমপ্লিমেন্ট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ এখানে, N = 23450, r = 10, n = 5
(23450)10 এর 10’s কমপ্লিমেন্ট = rn – N = 105 – 23450 = 76550

উদাহরণ – ২: (0.3267)10 এর 10’s কমপ্লিমেন্ট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ এখানে, N = 0.3267, r = 10, যেহেতু পূর্ণ সংখ্যা শূণ্য তাই n = 0 (0.3267)10 এর 10’s কমপ্লিমেন্ট = rn – N = 100 – 0.3267 = 1 – 0.3267 = 0.6733

উদাহরণ – ৩: (25.639)10 এর 10’s কমপ্লিমেন্ট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ এখানে, N = 25.639, r = 10, n = 2 (25.639)10 এর 10’s কমপ্লিমেন্ট = rn – N = 102 – 25.639 = 100 – 25.639 = 74.361

উদাহরণ – ৪: (101100)2 এর 2’s কমপ্লিমেন্ট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ এখানে, N = 101100, r = 2, n = 6 (101100)2 এর 2’s কমপ্লিমেন্ট = rn – N = (26)10 – (101100)2 = (1000000 – 101100)2 = 010100

বাইনারী সংখ্যার জন্য কমপ্লিমেন্ট নির্ণয়ের সহজমত পদ্ধতিঃ
একটি বাইনারী সংখ্যার 1’s এবং 2’s কমপ্লিমেন্ট নির্ণয় করা যায় নিম্নোক্ত উপায়েঃ
ধাপ – ১: একটি বাইনারী সংখ্যার প্রতিটি বিটকে উল্টিয়ে দিলেই উক্ত সংখ্যাটির 1’s কমপ্লিমেন্ট পাওয়া যাবে। অর্থাত বাইনারী সংখ্যাটির প্রতিটি 1 কে 0 তে এবং প্রতিটি 0 কে 1 এ রূপান্তর করে সংখ্যাটির 1’s কমপ্লিমেন্ট পাওয়া যাবে। যেমনঃ (101100)2 এর 1’s কমপ্লিমেন্ট 010011
ধাপ – ২: প্রাপ্ত 1’s কমপ্লিমেন্ট সংখ্যার LSB বা Least Significant Bit এর সাথে একটি বাইনারী বিট 1 যোগ করলে উক্ত সংখ্যাটির 2’s কমপ্লিমেন্ট পাওয়া যায়। যেমনঃ 010011 + 000001 = 010100, অতএব, (101100)2 এর 2’s কমপ্লিমেন্ট 010100


প্রতিটি বিষয়ের নোট ও সাজেশান্স ডাউনলোড করতে অসুবিধা হলে আমাদের ফেসবুক পেজে ইনবক্স করো। শিক্ষার্থীরা নোট ,সাজেশান্স ও নতুন নতুন ভিডিও সবার আগে পেতে আমাদের চ্যানেলটি সাবস্ক্রাইব SUBSCRIBE করতে পারো এই লিংক থেকে।

আজই জয়েন করুন বাংলাদেশের লার্নিং প্ল্যাটফর্মে ( ওয়েভ স্কুল বিডি )

শিক্ষক হিসেবে জয়েন করুন
রেকর্ডেড/লাইভ প্রোগ্রাম করতে পারো
অ্যাফিলিয়েট হতে চাইলে