ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের ত্রিকোণমিতি থেকে – সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (ত্রিকোণমিতি) – সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. n একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, (n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়: (n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতকে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুযায়ী θ সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতে রূপান্তরিত করা যায়। রূপান্তরিত অনুপাত ও তার চিহ্ন নির্ভর করে মূল অনুপাত ও n এর মানের উপর। রূপান্তরের নিয়মগুলো নিম্নে বর্ণনা করা হল:
n জোড়: অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।
sin (n.90° ± θ) = sin θ
cos (n.90° ± θ) = cos θ
tan (n.90° ± θ) = tan θ
cot (n.90° ± θ) = cot θ
sec (n.90° ± θ) = sec θ
cosec (n.90° ± θ) = cosec θ
n বিজোড়: অনুপাত সহ-অনুপাতে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ,
sin (n.90° ± θ) = cos θ
cos (n.90° ± θ) = sin θ
tan (n.90° ± θ) = cot θ
cot (n.90° ± θ) = tan θ
sec (n.90° ± θ) = cosec θ
cosec (n.90° ± θ) = sec θ
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে: নতুন অনুপাত ধনাত্মক
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত sin বা cosec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত tan বা cot হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৪র্থ চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত cos বা sec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
2. sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B
3. cos (A + B) = cos A cos B ‒ sin A sin B
4. cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B
5. ` \tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}`
6. ` \tan(A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}`
7. ` \cot (A + B)=\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}`
8. ` \cot (A - B)=\frac{\cot A\cot B+1}{\cot B-\cot A}`
9. sin (A + B) sin (A ‒ B) = sin2 A ‒ sin2 B = cos2 B ‒ cos2 A
10. cos (A + B) cos (A ‒ B) = cos2 A ‒ sin2 B = cos2 B ‒ sin2 A
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল যোগ বা বিয়োগফলে রূপান্তর:
1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A ‒ B)
2. 2 cos A sin B = sin (A + B) ‒ sin (A ‒ B)
3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A ‒ B)
4. 2 sin A sin B = cos (A ‒ B) ‒ cos (A + B)
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগ বা বিয়োগফল গুণফলে রূপান্তর:
1. sin C + sin D = ` 2\sin\frac{C+D}2\cos\frac{C-D}2 `
2. sin C ‒ sin D = ` 2\cos\frac{C+D}2\sin\frac{C-D}2 `
3. cos C + cos D = ` 2\cos\frac{C+D}2\cos\frac{C-D}2 `
4. cos C ‒ cos D = ` 2\sin\frac{C+D}2\cos\frac{D-C}2 `
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:
1. sin 2A = 2 sin A cos A = ` \frac{1-\tan^2A}{1+\tan^2A} `
2. cos 2A = cos2 A ‒ sin2 A = 2cos2 A ‒ 1 = 1 ‒ 2sin2 A =
3. tan 2A = ` \frac{2tanA}{1-\tan^2A} `
4. sin 3A = 3 sin A ‒ 4 sin3 A
5. cos 3A = 4 cos3 A ‒ 3 cos A
6. tan 3A = ` \frac{3tanA-\tan^3A}{1-\3tan^2A} `
7. ` 2cos^2A = 1+cos2A `
8. ` 2sin^2A = 1-cos2A `
উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত: গুণিতক কোণের সূত্র থেকে সহজেই উপগুণিতক কোণের সূত্র বের করা যায়। দ্বিগুণিতক সূত্রে `A = \frac\theta2 ` এবং ত্রিগুণিতক সূত্রে `A = \frac\theta3 ` বসালেই উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সূত্র পাওয়া যায়।
1. sin θ = 2 sin` \frac\theta2 ` cos` \frac\theta2 ` = ` \frac{2\tan^2\frac\theta2}{1+\tan^2\frac\theta2} `
2. `cos θ = cos^2\frac\theta2 ‒ sin^2\frac\theta2 = 2cos^2\frac\theta2 ‒ 1 = 1 ‒ 2sin^2\frac\theta2 = \frac{1-\tan^2\frac\theta2}{1+\tan^2\frac\theta2} `
3. ` tan \theta = \frac{2tan\frac\theta2}{1-\tan^2\frac\theta2} `
Chapter 7: সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (MCQ & CQ)
Topic-1: কোণের সাধারণ পরিচয় সংক্রান্ত
Topic-2: সংযুক্ত কোণ সম্বলিত ত্রিকোণমিতিক রাশি
Topic-3: ধারা সংক্রান্ত
Topic-4: যৌগিক কোণ সম্বলিত ত্রিকোণমিতিক রাশি
Topic-5: গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সংক্রান্ত
Topic-6: উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতির অনুপাত সংক্রান্ত
Topic-7: কোণের পর্যায় সংক্রান্ত
Topic-8: শর্ত সাপেক্ষে ত্রিভুজের বিভিন্ন অজানা রাশির মান নির্ণয়
Topic-9: বৃত্তকলা সংক্রান্ত
Topic-10: শর্ত সাপেক্ষে প্রমাণ/মান নির্নয়
Topic-11: শর্ত সাপেক্ষে ত্রিভুজের প্রকৃতি নির্ণয়
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (ত্রিকোণমিতি) – সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. n একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, (n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়: (n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতকে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুযায়ী θ সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতে রূপান্তরিত করা যায়। রূপান্তরিত অনুপাত ও তার চিহ্ন নির্ভর করে মূল অনুপাত ও n এর মানের উপর। রূপান্তরের নিয়মগুলো নিম্নে বর্ণনা করা হল:
n জোড়: অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।
sin (n.90° ± θ) = sin θ
cos (n.90° ± θ) = cos θ
tan (n.90° ± θ) = tan θ
cot (n.90° ± θ) = cot θ
sec (n.90° ± θ) = sec θ
cosec (n.90° ± θ) = cosec θ
n বিজোড়: অনুপাত সহ-অনুপাতে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ,
sin (n.90° ± θ) = cos θ
cos (n.90° ± θ) = sin θ
tan (n.90° ± θ) = cot θ
cot (n.90° ± θ) = tan θ
sec (n.90° ± θ) = cosec θ
cosec (n.90° ± θ) = sec θ
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে: নতুন অনুপাত ধনাত্মক
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত sin বা cosec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত tan বা cot হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৪র্থ চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত cos বা sec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
2. sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B
3. cos (A + B) = cos A cos B ‒ sin A sin B
4. cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B
5. ` \tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}`
6. ` \tan(A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}`
7. ` \cot (A + B)=\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}`
8. ` \cot (A - B)=\frac{\cot A\cot B+1}{\cot B-\cot A}`
9. sin (A + B) sin (A ‒ B) = sin2 A ‒ sin2 B = cos2 B ‒ cos2 A
10. cos (A + B) cos (A ‒ B) = cos2 A ‒ sin2 B = cos2 B ‒ sin2 A
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল যোগ বা বিয়োগফলে রূপান্তর:
1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A ‒ B)
2. 2 cos A sin B = sin (A + B) ‒ sin (A ‒ B)
3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A ‒ B)
4. 2 sin A sin B = cos (A ‒ B) ‒ cos (A + B)
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগ বা বিয়োগফল গুণফলে রূপান্তর:
1. sin C + sin D = ` 2\sin\frac{C+D}2\cos\frac{C-D}2 `
2. sin C ‒ sin D = ` 2\cos\frac{C+D}2\sin\frac{C-D}2 `
3. cos C + cos D = ` 2\cos\frac{C+D}2\cos\frac{C-D}2 `
4. cos C ‒ cos D = ` 2\sin\frac{C+D}2\cos\frac{D-C}2 `
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:
1. sin 2A = 2 sin A cos A = ` \frac{1-\tan^2A}{1+\tan^2A} `
2. cos 2A = cos2 A ‒ sin2 A = 2cos2 A ‒ 1 = 1 ‒ 2sin2 A =
3. tan 2A = ` \frac{2tanA}{1-\tan^2A} `
4. sin 3A = 3 sin A ‒ 4 sin3 A
5. cos 3A = 4 cos3 A ‒ 3 cos A
6. tan 3A = ` \frac{3tanA-\tan^3A}{1-\3tan^2A} `
7. ` 2cos^2A = 1+cos2A `
8. ` 2sin^2A = 1-cos2A `
উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত: গুণিতক কোণের সূত্র থেকে সহজেই উপগুণিতক কোণের সূত্র বের করা যায়। দ্বিগুণিতক সূত্রে `A = \frac\theta2 ` এবং ত্রিগুণিতক সূত্রে `A = \frac\theta3 ` বসালেই উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সূত্র পাওয়া যায়।
1. sin θ = 2 sin` \frac\theta2 ` cos` \frac\theta2 ` = ` \frac{2\tan^2\frac\theta2}{1+\tan^2\frac\theta2} `
2. `cos θ = cos^2\frac\theta2 ‒ sin^2\frac\theta2 = 2cos^2\frac\theta2 ‒ 1 = 1 ‒ 2sin^2\frac\theta2 = \frac{1-\tan^2\frac\theta2}{1+\tan^2\frac\theta2} `
3. ` tan \theta = \frac{2tan\frac\theta2}{1-\tan^2\frac\theta2} `
Chapter 7: সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (MCQ & CQ)
Topic-1: কোণের সাধারণ পরিচয় সংক্রান্ত
Topic-2: সংযুক্ত কোণ সম্বলিত ত্রিকোণমিতিক রাশি
Topic-3: ধারা সংক্রান্ত
Topic-4: যৌগিক কোণ সম্বলিত ত্রিকোণমিতিক রাশি
Topic-5: গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সংক্রান্ত
Topic-6: উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতির অনুপাত সংক্রান্ত
Topic-7: কোণের পর্যায় সংক্রান্ত
Topic-8: শর্ত সাপেক্ষে ত্রিভুজের বিভিন্ন অজানা রাশির মান নির্ণয়
Topic-9: বৃত্তকলা সংক্রান্ত
Topic-10: শর্ত সাপেক্ষে প্রমাণ/মান নির্নয়
Topic-11: শর্ত সাপেক্ষে ত্রিভুজের প্রকৃতি নির্ণয়
Tags
HSC Math