উচ্চতর গণিত (বিছিন্নগণিত) – সম্ভাব্যতা

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের বিছিন্নগণিত থেকে – সম্ভাব্যতা ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (বিছিন্নগণিত) – সম্ভাব্যতা

4. 52টি তাসের প্যাকেট থেকে ধারাবাহিকভাবে টেনে পরপর 4টি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধানঃ

মোট টেক্কার সংখ্যা = 4
∴ প্রথম টানে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/52  = 1/13
অবশিষ্ট টেক্কার সংখ্যা = 4-1 =3 ; অবশিষ্ট তাসের সংখ্যা = 52-1 = 51
∴ দ্বিতীয় টানে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/51 = 1/17
অবশিষ্ট টেক্কার সংখ্যা = 2 ; অবশিষ্ট তাসের সংখ্যা = 50
∴ তৃতীয় টানে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/50 = 1/25
অবশিষ্ট টেক্কার সংখ্যা = 1 ; অবশিষ্ট তাসের সংখ্যা = 49
∴ চতুর্থ টানে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 1/49
∴ টানা 4টি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 1/13 + 1/7 × 1/25 × 1/49
= 1/270725   [ans.]

Short-cut :
4টি টেক্কা থেকে একটি একটি করে মোট 4টি উঠানো যায় 4C₄ উপায়ে ।
52টি টেক্কা থেকে একটি একটি করে মোট 4টি উঠানো যায় 52C₄ উপায়ে ।
∴ সম্ভাব্যতা =
= 4C₄ / 52C₄
= 1/270725                  [ans.]

5. A ও B এর একটি অঙ্কের সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা  যথাক্রমে 1/3 এবং 1/4। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধানের চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধানঃ

A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1-1/3 = 2/3
B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1-1/4 = 3/4
∴ A ও B এর একত্রে না পারার সম্ভাব্যতা = 2/3 × 3/4 = 1/2
∴ A ও B এর একত্রে পারার সম্ভাব্যতা = 1 – 1/2  = 1/2                    [ans.]


6. 10 থেকে 30 পর্যন্ত হতে যেকোন সংখ্যা নিলে সেটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধানঃ

10 থেকে 30 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 21টি
তার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = {11,13,17,19,23,29}; 6টি
এবং 5 এর গুণিতক সংখ্যা = {10,15,20,25,30}; 5টি
∴ মৌলিক হওয়ার সম্ভাব্যতা = 6/21
∴ 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা = 5/21
∴ মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা = মৌলিক হওয়ার সম্ভাব্যতা + 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা      [বর্জনশীল]
= 6/21 + 5/21
= 11/21                      [ans.]

• The following table might be helpful to remember prime numbers upto 100 :

Range	Prime Number	Frequency
1-10	2,3,5,7	4
11-20	11,13,17,19	4
21-30	23,29	2
31-40	31,37	2
41-50	41,43,47	3
51-60	53,59	2
61-70	61,67	2
71-80	71,73,79	3
81-90	83,89	2
91-100	97	1
Total		25

7. একজন পরীক্ষার্থীর বাংলায় ফেল করার সম্ভাব্যতা 1/5, বাংলা এবং ইংরেজি দুটিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/4, দুইটির যেকোন একটিতে পাসের সম্ভাব্যতা 7/8 হলে, তার ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত? বাংলায় পাস করলে ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধানঃ

ধরি, বাংলায় পাসের সম্ভাব্যতা P(B) এবং ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা P(E) ।
∴ P(B) = 1-বাংলায় ফেলের সম্ভাব্যতা = 1-1/5  = 4/5
∴ P(B⋃E) = বাংলা অথবা ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা
= দুইটির যেকোন একটিতে পাসের সম্ভাব্যতা
= 7/8
∴ P(B⋂E)= বাংলা এবং ইংরেজি দু’টিতে পাসের সম্ভাব্যতা
= 3/4
আমরা জানি, P(B⋃E) = P(B) + P(E) – P(B⋂E)
⇒ P(E) = P(B⋃E) + P(B⋂E) – P(B)
⇒ ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা = 7/8 + 3/4 – 4/5  = 33/40  [ans.]
বাংলায় পাস করলে ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা, P(E/B) = P(B⋂E) / P(B)
=
= 15/16          [ans.]


8. একটি বাক্সে 10টি কালো ও 15টি লাল মার্বেল আছে । একটি বালক যেমন খুশি টেনে প্রতিবারে একটি করে পর পর দুইটি মার্বেল তুলল (দৈবচয়নে একটির পর আরেকটি মোট দুটি মার্বেল তোলা হল)-

সমাধানঃ

i. মার্বেল দুটির লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. মার্বেল দুটির কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা
iii. মার্বেল দুটির একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
iv. মার্বেল দুটির ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?


i. প্রথমটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 15/(10+15)  = 15/25  = 3/5
দ্বিতীয়টি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = (15-1)/(25-1)  = 14/24  = 7/12
∴ দু’টি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/5 × 7/12  = 7/20                        [ans.]

ii. প্রথমটি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা = 10/25  = 2/5
দ্বিতীয়টি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা = 9/24  = 3/8
∴ দু’টি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/5 × 3/8   = 3/20                       [ans.}

iii. মার্বেল দুটির একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
= মার্বেল দুটির লাল অথবা কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা
= মার্বেল দুটির লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা + মার্বেল দুটির কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 7/20 + 3/20   = 10/20   = 1/2                                     [ans.]

iv. মার্বেল দুটির ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
= প্রথমে লাল পরে কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা + প্রথমে কালো পরে লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা
= ( × ) + ( × )
= ¼ + ¼
= ½                  [ans.]
Short-cut :
i. 25টি লাল মার্বেল থেকে 2টি তোলা যায় 15C₂ উপায়ে
25 মার্বেল থেকে 2টি তোলা যায় 25C₂ উপায়ে ।
∴ দুটি লাল তোলার সম্ভাব্যতা = 15C₂ / 25C₂ = 3/20            [ans.]

ii. দুটি কালো মার্বেল তোলার সম্ভাব্যতা = 10C₂ / 25C₂ = 3/20                       [ans.]

iii. মার্বেল দুটি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = 7/20 + 3/20  = 1/2   [ans.}

iv. মার্বেল দুটি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - মার্বেল দুটির একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1 – 1/2  = 1/2                        [ans.]
অথবা,
মার্বেল দুটি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = (15C₁ × 10C₁) / 25C₂
= 1/2                [ans.]

9. একটি থলিতে 10টি কালো ও 15টি লাল মার্বেল আছে । নিরপেক্ষভাবে একটিতে তুলে আবার সবগুলো একত্রে রাখা হল । আবার আরেকটি মার্বেল তোলা হল ।
i. দুটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. দুটি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা
iii. মার্বেল দুটি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
iv, মার্বেল দুটি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা

সমাধানঃ

i. প্রথমটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 15/25 = 3/5
দ্বিতীয়টি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 15/25 = 3/5
∴ দু’টি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/5 × 3/5 = (3/5)² = 9/25               [ans.]

ii. দু’টি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা = (10/25)²   = (2/5)²   = 4/25         [ans.]

iii. মার্বেল দুটি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = (15/25)² + (10/25)²
= 9/25 + 4/25
= 13/25                        [ans.]

iv, মার্বেল দুটি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - মার্বেল দুটির একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1 – {(15/25)² + (10/25)²}
= 1 – 13/25
= 12/25                        [ans.]

লক্ষণীয়, বিনিময়সাপেক্ষে nটি বস্তুর মধ্যে m সংখ্যক একই বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন বস্তু r বার পরীক্ষণের প্রতিবার পাওয়ার সম্ভাব্যতা = (m/n)^r

10. একটি বাক্সে 8টি লাল, 4টি কালো ও 3টি সাদা বল আছে । 3টি বল দৈবভাবে নেয়া হল-
i. 2টি লাল বল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. কমপক্ষে 2টি লাল বল পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধানঃ

মোট বল = 8+4+3 = 15টি
i. 8টি লাল বল থেকে 2টি নেয়া যায় ⁸C₂ উপায়ে ।
∵ মোট 3টি বল নিতে হবে ।
∴ অবশিষ্ট 7টি বল থেকে 1টি নেয়া যায় ⁷C₁ উপায়ে ।
∴ 2টি লাল (+ 1টি ভিন্ন রংয়ের) বল পাওয়ার সম্ভাব্যতা = (⁸C₂ × ⁷C₁ ) / ¹⁵C₃
= 28/65            [ans.]

ii. কমপক্ষে 2টি লাল বল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= 2টি লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা + 3টি লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
=           +   
= 36/65                        [ans.]

অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. …
প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা পর্যন্ত
Skype id - wschoolbd