উচ্চতর গণিত (বিছিন্নগণিত) – সম্ভাব্যতা

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের বিছিন্নগণিত থেকে – সম্ভাব্যতা ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (বিছিন্নগণিত) – সম্ভাব্যতা

সাধারণ ধারণা

• কোন ঘটনার সম্ভাব্যতার গাণিতিক পরিমাপ =   

          অর্থাৎ সম্ভাব্যতা =

• কোন ঘটনা A ঘটার সম্ভাব্যতা P(A) হলে 0≤P(A) ≤1 অর্থাৎ A ঘটার সম্ভাব্যতা শূন্যের চেয়ে কম নয় এবং এক অপেক্ষা অধিক নয় ।
• নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাব্যতা 1
• অসম্ভব ঘটনার সম্ভাব্যতা 0
• কোন ঘটনা A ঘটার সম্ভাব্যতা P(A) এবং না ঘটার সম্ভাব্যতা P(A0) হলে, P(A)+P(A0)=1 অর্থাৎ কোন ঘটনা ঘটা এবং না ঘটার সম্ভাব্যতার সমষ্টি 1
• সম্ভাব্যতার সংযোগসূত্র :

P ( A অথবা B) অর্থাৎ P(A⋃B) = P(A)+P(B)

যদি A ও B দুটি অবর্জনশীল ঘটনা হয় তবে, P(A⋃B) = P(A)+P(B)-P(A⋂B)

• বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে : দুইটি বর্জনশীল ঘটনার যেকোন একটি ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান । যদি A ও B দুটি বর্জনশীল ঘটনা হয় তবে
• অবর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে : দুইটি অবর্জনশীল ঘটনার যেকোন একটি ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার যোগফল থেকে তাদের একসাথে ঘটার সম্ভাব্যতার বিয়োগফলের সমান ।

• সম্ভাব্যতার গুণন সূত্র : বিভিন্ন স্বাধীন ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান ।

যদি A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হয় তবে, P(A⋂B) = P(A).P(B)

• শর্তাধীন সম্ভাব্যতা : যদি A ও B পরস্পর বর্জনশীল দুটি ঘটনা হয় এবং P(B) > 0 হয় তবে B ঘটার শর্তাধীনে A ঘটার সম্ভাব্যতা,

P(A/B) = P(A⋂B) / P(B)
অনুরূপভাবে, যদি হয় P(A) > 0  তবে A ঘটার শর্তাধীনে B ঘটার সম্ভাব্যতা,
P(B/A) = P(A⋂B) / P(A)

গাণিতিক সমস্যার সমাধান :

1. একটি সুষম মুদ্রাকে তিনবার টস করা হল-
i. একটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. একটি টেইল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
iii. দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
iv. তিনটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
v. কমপক্ষে দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
vi. বড়জোর দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
vii. প্রথমে হেড পাওয়ার শর্তে কমপক্ষে দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধানঃ

একটি সুষম মুদ্রাকে তিনবার টস করা এবং তিনটি সুষম সমরূপ মুদ্রাকে একবার টস করা সমার্থক ( vii নং এক্ষেত্রে ব্যতিক্রম) ।
নমুনাক্ষেত্রটি হবে নিম্নরূপ : S = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,T), (T,T,T), (T,T,H), (T,H,H), (H,T,T), (T,H,T)}             [H = Head; T = Tail]
অর্থাৎ মোট নমুনাবিন্দুর সংখ্যা/ সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা, n(S) = 8

i. একটি H পাওয়া যেতে পারে 3 উপায়ে = {(H,T,T),(T,T,H),(T,H,T)}
∴ ঘটনার অনুকূলে নমুনাবিন্দুর সংখ্যা = 3
∴ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা =  = 3/8    [ans.]

ii. একটি টেইল পাওয়া যেতে পারে 3 উপায়ে = {(H,H,T),(T,H,H),(H,T,H)}
∴ একটি টেইল পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/8                   [ans.]
লক্ষণীয়, একটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = একটি T পাওয়ার সম্ভাব্যতা
কেননা, প্রতি টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = T পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ½
অনুরূপভাবে, দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = দুইটি T পাওয়ার সম্ভাব্যতা
তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = তিনটি T পাওয়ার সম্ভাব্যতা

iii. দুইটি H পাওয়া যেতে পারে 3 উপায়ে = {(H,H,T),(T,H,H),(H,T,H)}
∴ দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/8                     [ans.]

iv. তিনটি H পাওয়া যেতে পারে 1 উপায়ে = {(H,H,H)}
∴ তিনটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা 1/8                       [ans.]
লক্ষণীয়, এক্ষেত্রে তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = তিনটি টসের প্রতিটিতে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= প্রথম টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা × দ্বিতীয় টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা × তৃতীয় টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা            [∵ ঘটনাগুলো স্বাধীন ∴ গুণন সূত্র প্রযোজ্য]
= ½ × ½ × ½
= 1/8    [ans.]

v. কমপক্ষে দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = দুই বা ততোধিক H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
দুই বা ততোধিক H পাওয়া যেতে পারে 4 উপায়ে = {(H,H,H),(H,H,T),(T,H,H),(H,T,H)}
∴ কমপক্ষে দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/8 = 1/2
                       [ans.]
vi. বড়জোর দুইটি H পাওয়া যেতে পারে 7 উপায়ে = {(H,H,T),(H,T,T),(T,T,T),(T,T,H),(T,H,H),(H,T,H),(T,H,T)}
∴ বড়জোর দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 7/8            [ans.]
লক্ষণীয়, বড়জোর দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = শূন্য H, একটি H অথবা দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= তিনটি H না পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1 – তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1 – ½ × ½ × ½
= 1 – 1/8
= 7/8
vii. এখানে প্রথমে H পাওয়ার শর্তে মোট নমুনাবিন্দুর সংখ্যা = {(H,H,H),(H,{H,T),(H,T,T),(H,T,H)}
= 4
প্রথমে H পাওয়ার শর্তে কমপক্ষে দুইটি H পাওয়া যেতে পারে 3 উপায়ে = {(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H)}
∴ প্রথমে H পাওয়ার শর্তে কমপক্ষে দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ¾      [ans.]
লক্ষণীয়, যেহেতু প্রথম টসে হেড পাওয়ার শর্তে পরবর্তী টসগুলো বিবেচনা করতে হবে সেহেতু প্রথম টসে হেড ধরে নিয়ে পরবর্তী টসগুলোর সম্ভাব্যতা বিবেচনা করাই যথেষ্ট ।
এখন, মোট দুই বা ততোধিক হেড পাওয়া যাবে যদি-
পরবর্তী 2 টসে 1 বার H পাওয়া যায় অথবা 2 টসে 2 বার হেড পাওয়া যায় । নমুনাক্ষেত্র = {(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} 4
2 টসে 1 বার H পাওয়া যেতে পারে 2 উপায়ে = {(H,T),(T,H)}
∴ 2 টসে 1 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/4 = 1/2
∴ 2 টসে 2 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = প্রথম টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা × দ্বিতীয় টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= ½ × ½
= ¼
∴ 2 টসে 1 অথবা 2 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা + 2 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা   [∵ বর্জনশীল]
= ½ + ¼
= ¾
∴  ¾ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা ।

Short-cut :

n সংখ্যক প্রচেষ্টা বা পরীক্ষণে r বার ঘটনার অনুকূলে ফলাফল লাভের সম্ভাব্যতা = ⁿC_r × a^n-r × s^r
এখানে, a = প্রতি একক প্রচেষ্টায় ঘটনা না ঘটার সম্ভাব্যতা
s = প্রতি একক প্রচেষ্টায় ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা
i. 3 বার টসে 1 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ³C₁ × (½ )² × (½ )¹
= 3/8    [ans.]
iii. 3 বার টসে 2 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ³C₂ × (½ )¹ × (½ )²
= 3/8    [ans.]
iv. 3 বার টসে 3 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ³C₃ × (½ )⁰ × (½ )³
= 1/8    [ans.]
v. কমপক্ষে দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা =  দুইটি অথবা তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা + তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= ³C₂ × (½ )¹ × (½ )²+ ³C₂ × (½ )0 × (½ )³
= 3/8 + 1/8
= 4/8 = 1/2     [ans.]


2. 5 টি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের প্রত্যেকটিতে 6 উঠার সম্ভাব্যতা কত? 3 টি 6 উঠার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধানঃ

ছক্কা নিক্ষেপে 6 উঠার সম্ভাব্যতা = 1/6
∴ 5টি ছক্কার প্রতিটিতে 6 উঠার সম্ভাব্যতা  = 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6
= (1/6)⁵
= 1/7776                [ans.]
5টি ছক্কা নিক্ষেপে 3 বার 6 উঠার সম্ভাব্যতা = 1টি ছক্কা 5 বার নিক্ষেপে 3 বার 6 উঠার সম্ভাব্যতা
= ⁵C₃ × (5/6)² × (1/6)³
= 125/3888   [ans.]


3. 52টি তাসের একটি প্যাকেট হতে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস টানলে-

সমাধানঃ

i. টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
iii. লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
iv. লাল অথবা টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
v. ইসকাবন বা চিড়া পাওয়ার সম্ভাব্যতা
vi. ইসকাবনের টেক্কা ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
vii. ইসকাবন বা ইসকাবনের টেক্কা ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?


i. মোট টেক্কার সংখ্যা = 4
∴ টেক্কার পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/52  = 1/13                        [ans.]

ii. মোট লাল তাসের সংখ্যা = 26
∴ লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 26/52  = 1/2               [ans,]

iii. মোট লাল টেক্কার সংখ্যা = 2
∴ লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/52  = 1/26       [ans.]

iv. লাল অথবা টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা + টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা – লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা              [∵ অবর্জনশীল]
= 1/2 + 1/13 – 1/26
= 14/26
= 7/13  [ans.]

v. মোট ইসকাবনের সংখ্যা = 13
∴ ইসকাবন পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 13/52  = 1/4
মোট চিড়ার সংখ্যা = 13
∴ চিড়া পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 13/52 = 1/4
∴ ইসকাবন বা চিড়া পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ইসকাবন পাওয়ার সম্ভাব্যতা + চিড়া পাওয়ার সম্ভাব্যতা                [∵ বর্জনশীল]
= 1/4 + 1/4
= 2/4
= 1/2                        [ans.]

vi. ইসকাবনের টেক্কা একটি ।
∴ ইসকাবন ব্যতীত অন্য টেক্কার সংখ্যা = 4-1 = 3
∴ ইসকাবন ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/52        [ans.]

vii. ইসকাবন বা ইসকাবন ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ইসকাবন পাওয়ার সম্ভাব্যতা + ইসকাবন ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1/4 + 3/52
= 16/52
= 4/13 [ans.]


অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. …
প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা পর্যন্ত
Skype id - wschoolbd