উচ্চতর গণিত (বিছিন্নগণিত) – যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের বিছিন্নগণিত থেকে – যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (বিছিন্নগণিত) – যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম

সাধারণ ধারণা :

• যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম

প্রাপ্ত সম্পদের ভিত্তিতে পরস্পর নির্ভরশীল কাজ বা শর্ত থেকে সবচেয়ে অনুকূল ফল অর্জনের গাণিতিক পদ্ধতি বা কৌশলকে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম বলা হয়।

• x ≥ a অসমতার লেখ অঙ্কন :

আমরা জানি, x = a , y অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ। x ≥ a অসমতার লেখ হবে x = a রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে বড় সকল বিন্দুর লেখ অর্থাৎ x = a রেখা ও তার ডানপাশের সকল বিন্দুর লেখ।


তাহলে, x > a অসমতার লেখ হবে x = a রেখার শুধুমাত্র ডানপাশের সকল বিন্দুর লেখ।

• x ≤ a অসমতার লেখ অঙ্কন :

অনুরূপভাবে , x ≤ a অসমতার লেখ হবে x = a রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে ছোট সকল বিন্দুর লেখ অর্থাৎ x = a রেখা ও তার বামপাশের সকল বিন্দুর লেখ।


তাহলে, x < a অসমতার লেখ হবে x = a রেখার শুধুমাত্র বামপাশের সকল বিন্দুর লেখ।

• y ≥ b অসমতার লেখ অঙ্কন :

আমরা জানি, y = b , x অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ। y ≥ b অসমতার লেখ হবে y = b রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে বড় সকল বিন্দুর লেখ অর্থাৎ y = b রেখা ও তার উপরের সকল বিন্দুর লেখ।


তাহলে, y > b অসমতার লেখ হবে y = b রেখার শুধুমাত্র উপরের সকল বিন্দুর লেখ।

• y ≤ b অসমতার লেখ অঙ্কন :

অনুরূপভাবে , y ≤ b অসমতার লেখ হবে y = b রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে ছোট সকল বিন্দুর লেখ অর্থাৎ y = b  রেখা ও তার নিচের সকল বিন্দুর লেখ।

তাহলে, y < b অসমতার লেখ হবে y = b রেখার শুধুমাত্র নিচের সকল বিন্দুর লেখ।

• যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের কোন চলকই ঋণাত্মক হবে না। অর্থাৎ x ≥ o এবং  y ≥ o হবে।

 

• ax+by ≥ c অসমতার লেখ অঙ্কন :

আমরা জানি, ax+by = c একটি সরলরেখার সমীকরণ যা অক্ষদ্বয়কে ছেদ করে। অর্থাৎ,
ax+by=c ⇒  +  = 1 সরলরেখা x অক্ষকে (c/a, 0) এবং y অক্ষকে (0, c/a) বিন্দুতে ছেদ করে।
অথবা, সরলরেখাটি যে বিন্দুতে x অক্ষকে ছেদ করে সে বিন্দুতে কোটি শূন্য।
সমীকরণে y = 0 বসালে x অক্ষে কর্তিত অংশ (x-intercept) পাওয়া যাবে।
ax+b(0) = c ⇒ x=c/a
এবং সরলরেখাটি যে বিন্দুতে y অক্ষকে ছেদ করে সে বিন্দুতে ভুজ শূন্য। সমীকরণে x=0 বসালে y অক্ষে কর্তিত অংশ (y-intercept) পাওয়া যাবে।
a(0)+by = c ⇒ y=c/b
প্রাপ্ত (c/a,0) এবং (0,c/b) বিন্দুদ্বয়কে যোগ করলে ax+by = c রেখার লেখ পাওয়া যাবে। ax+by ≥ c অসমতার লেখ হবে ax+by = c  রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে বড় সকল বিন্দুর সেট অর্থাৎ ax+by = c রেখা ও তার যে দিকে মূলবিন্দু আছে তার বিপরীত দিকের সকল বিন্দুর সেট।

তাহলে, ax+by > c অসমতার লেখ হবে ax+by = c রেখার যে দিকে মূলবিন্দু আছে শুধুমাত্র তার বিপরীত দিকের সকল বিন্দুর সেট।

• ax+by ≤ c অসমতার লেখ অঙ্কন :

অনুরূপভাবে , ax+by ≤ c  অসমতার লেখ হবে ax+by = c রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে ছোট সকল বিন্দুর সেট অর্থাৎ ax+by = c  রেখা ও তার যে দিকে মূলবিন্দু আছে সে দিকের সকল বিন্দুর সেট।


তাহলে, ax+by < c অসমতার লেখ হবে ax+by = c রেখার যে দিকে মূলবিন্দু আছে শুধুমাত্র সে দিকের সকল বিন্দুর সেট।

Exemplary Problems With Solution :

1.  x+2y≤10, x+y≤6, x≤4, x≥0, y≥0 শর্তসমূহ সাপেক্ষে z=2x+3y রাশিটির সর্বোচ্চকরণ কর।



x+2y≤10 ⇒ x/10 + y/5 ≤ 1 অসমতার লেখ :

x+y≤6 অসমতার লেখ :


x≤4 অসমতার লেখ :

∴ সম্পূর্ণ প্রোগ্রামের লেখ :

এখানে, A, B, C ও D প্রান্তিক বিন্দুসমূহ অর্থাৎ সম্ভাব্য সে সকল বিন্দু যাদের জন্য প্রদত্ত রাশির সর্বোচ্চ মান পাওয়া যেতে পারে।
এখানে,
A ≡ (0,5)
B ≡ (2,4)                     [ x+2y=10 ও x+y=6 রেখার ছেদবিন্দু। সমীকরণদ্বয় সমাধান করলে যার
মান পাওয়া যায় । Use calculator to solve equations to save time. ]
C ≡ (4,2)                     [ x+y=6  ও x=4 রেখার ছেদবিন্দু ]
D ≡ (4,0)
A (0,5)  বিন্দুতে z = 2(0)+3(5) = 15
B (2,4)  বিন্দুতে z = 2(2)+3(4) = 16
C (4,2)  বিন্দুতে z = 2(4)+3(2) = 14
D (4,0)  বিন্দুতে z = 2(4)+3(0) = 8
∴ Z এর সর্বোচ্চ মান 16 ।
[Answer]

2. x+y≤5, x+2y≤8, 4x+3y>12, x≥0, x≥0 শর্তসমূহ সাপেক্ষে রাশিটির সর্বনিম্নকরণ কর।
∴ সম্পূর্ণ প্রোগ্রামের লেখ :

এখানে, A,B,C ও D প্রান্তিক বিন্দুসমূহ অর্থাৎ সম্ভাব্য সে সকল বিন্দু যাদের জন্য প্রদত্ত রাশির সর্বনিম্ন মান পাওয়া যেতে পারে।
কিন্তু A এবং D   4x+3y > 12 অসমতার লেখের বিন্দু নয়। কেননা, 4x+3y = 0 রেখার যে পাশে মূলবিন্দু আছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দুই শুধুমাত্র 4x+3y > 12  অসমতার লেখের বিন্দু। ∴ A এবং D বিন্দু শর্ত বহির্ভূত।
এখানে,
B ≡ (2,3)              [ x+y = 5  ও x+2y = 8 রেখার ছেদবিন্দু। সমীকরণদ্বয় সমাধান করলে যার মান
পাওয়া যায় । Use calculator to solve equations to save time. ]
C ≡ (5.0)
∴ B (2,3)  বিন্দুতে , z = 2(2) - 3 =1
∴ C (5,0)  বিন্দুতে , z = 2(5) – 0 =10
∴ Z এর সর্বনিম্ন মান 1 .
[Answer ]


অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. …
প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা পর্যন্ত
Skype id - wschoolbd