ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের ক্যালকুলাস থেকে – অন্তরীকরণ ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (ক্যালকুলাস) – অন্তরীকরণ
অন্তরীকরণ :কোন ফাংশনের অন্তরক নির্ণয় করার পদ্ধতিকে অন্তরীকরণ বলে এবং স্বাধীন চলরাশি বুঝাবার জন্য বলা হয় x এর সাপেক্ষে f(x) এর অন্তরক। অর্থাৎ একটি রাশির সূ²াতিসূ² পরিবর্তনের জন্য অন্য একটি রাশির পরিবর্তন । অর্থাৎ গণিতের এই শাখায় পরিবর্তনের হার নিয়ে আলোচনা করা হয় । অন্তরক নির্ণয় করার জন্য ` \frac{\d}{\dx} ` অপারেটর ব্যবহার করা হয়।
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. ` \frac{\ d}{\dx}(c)=0 `
2. ` \frac{\d}{\dx}{c.f(x)} ` = ` c.\frac{\d}{\dx}{f(x)} `
3. ` \frac{\d}{\dx}(x^n) =nx^{n-1} `
4. ` \frac{\d}{\dx}(\sin\x)=\cos x `
5. ` \frac{\d}{\dx}(\cos\x)= - \sin x `
6. ` \frac{\d}{\dx}(\tan\x)=\sec^2 x `
7. ` \frac{\d}{\dx}(\sec\x)=\secx . tanx`
8. ` \frac{\d}{\dx}(\cot\x)= -\cosec^2 x `
9. ` \frac{\d}{\dx}(\cosec\x)= -\cosecx . cotx`
10. ` \frac{\d}{\dx}(e^x) = e^x `
11. ` \frac{\d}{\dx}(\ln\x)= \frac1x `
12. ` \frac{\d}{\dx} (a^x) = a^x lna `
Type – 1 : ব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ:
যে সকল ফাংশনকে y= f(x) আকারে লেখা যায় তাদেরকে ব্যক্ত ফাংশন বলে।
Catagory-০১: সরাসরি সূত্র প্রয়োগ:
উদাহরণ- ০১ : ` \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} ` কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
সমাধান : y= ` \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = `\frac{\d}{\dx} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = `\frac{(\sqrt{x-1})\frac{\ d}{\ dx}(\sqrt{x+1})\-(\sqrt{x+1})\frac{\ d}{\dx}(\sqrt{x+1})}{(\sqrt{x-1})^2} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = `\frac{(\sqrt{x-1})(\frac1{2\sqrt x}+0)\-(\sqrt{x+1})(\frac1{2\sqrt x}-0)}{(\sqrt{x-1})^2} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = `\frac{\frac{\1}{\2}-\frac1{2\sqrt x}-\frac{\1}{\2}-\frac1{2\sqrt x}}{(\sqrt{1-x})^2} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ` \frac{-\frac1{\sqrt x}}{(\sqrt{1-x})^2} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ` \frac{-1}{ \sqrt x (\sqrt{1-x})^2} ` উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : ` \frac{\1+sinx}{\1-sinx} ` কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উদাহরণ- ০৩ : ` \frac{\sinx+cosx}{\sqrt{1+sin2x}} ` কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উদাহরণ- ০৪: ` (3e^x – 5 ln (x) + 4 cos x) ` কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
Catagory-০২: Explicit+composite Function এর অন্তরীকরণঃ
এক্ষেত্রে একটি ফাংশনের মধ্যে আরেকটি ফাংশন, তার মধ্যে আরেকটি ফাংশন অর্থাৎ একাধিক ফাংশনের সংযোজন ঘটে। এক্ষেত্রে সবচেয়ে বাইরের ফাংশনের আগে এবং ধীরে ধীরে ভিতরের ফাংশনের অন্তরীকরণ করে সবগুলো গুণন আকারে লিখতে হবে।
উদাহরণ- ০১ : y = ln (sin2x) হলে, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ?
সমাধান : y = ln (sin2x)
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ` \frac{\d}{\dx} ` ln (sin2x)
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ` \frac{\1}{\sin2x} ` cos2x. 2
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = 2 cot2x
উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : ` y = (2x - 4)^4` হলে, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ?
উদাহরণ- ০৩ : ` y = (sin2x)^4 ` হলে, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ?
উদাহরণ- ০৪: ` y = \sqrt{\sin\sqrt x}` হলে, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ?
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (ক্যালকুলাস) – অন্তরীকরণ
অন্তরীকরণ :কোন ফাংশনের অন্তরক নির্ণয় করার পদ্ধতিকে অন্তরীকরণ বলে এবং স্বাধীন চলরাশি বুঝাবার জন্য বলা হয় x এর সাপেক্ষে f(x) এর অন্তরক। অর্থাৎ একটি রাশির সূ²াতিসূ² পরিবর্তনের জন্য অন্য একটি রাশির পরিবর্তন । অর্থাৎ গণিতের এই শাখায় পরিবর্তনের হার নিয়ে আলোচনা করা হয় । অন্তরক নির্ণয় করার জন্য ` \frac{\d}{\dx} ` অপারেটর ব্যবহার করা হয়।
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. ` \frac{\ d}{\dx}(c)=0 `
2. ` \frac{\d}{\dx}{c.f(x)} ` = ` c.\frac{\d}{\dx}{f(x)} `
3. ` \frac{\d}{\dx}(x^n) =nx^{n-1} `
4. ` \frac{\d}{\dx}(\sin\x)=\cos x `
5. ` \frac{\d}{\dx}(\cos\x)= - \sin x `
6. ` \frac{\d}{\dx}(\tan\x)=\sec^2 x `
7. ` \frac{\d}{\dx}(\sec\x)=\secx . tanx`
8. ` \frac{\d}{\dx}(\cot\x)= -\cosec^2 x `
9. ` \frac{\d}{\dx}(\cosec\x)= -\cosecx . cotx`
10. ` \frac{\d}{\dx}(e^x) = e^x `
11. ` \frac{\d}{\dx}(\ln\x)= \frac1x `
12. ` \frac{\d}{\dx} (a^x) = a^x lna `
Type – 1 : ব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ:
যে সকল ফাংশনকে y= f(x) আকারে লেখা যায় তাদেরকে ব্যক্ত ফাংশন বলে।
Catagory-০১: সরাসরি সূত্র প্রয়োগ:
উদাহরণ- ০১ : ` \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} ` কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
সমাধান : y= ` \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = `\frac{\d}{\dx} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = `\frac{(\sqrt{x-1})\frac{\ d}{\ dx}(\sqrt{x+1})\-(\sqrt{x+1})\frac{\ d}{\dx}(\sqrt{x+1})}{(\sqrt{x-1})^2} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = `\frac{(\sqrt{x-1})(\frac1{2\sqrt x}+0)\-(\sqrt{x+1})(\frac1{2\sqrt x}-0)}{(\sqrt{x-1})^2} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = `\frac{\frac{\1}{\2}-\frac1{2\sqrt x}-\frac{\1}{\2}-\frac1{2\sqrt x}}{(\sqrt{1-x})^2} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ` \frac{-\frac1{\sqrt x}}{(\sqrt{1-x})^2} `
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ` \frac{-1}{ \sqrt x (\sqrt{1-x})^2} ` উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : ` \frac{\1+sinx}{\1-sinx} ` কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উদাহরণ- ০৩ : ` \frac{\sinx+cosx}{\sqrt{1+sin2x}} ` কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উদাহরণ- ০৪: ` (3e^x – 5 ln (x) + 4 cos x) ` কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
Catagory-০২: Explicit+composite Function এর অন্তরীকরণঃ
এক্ষেত্রে একটি ফাংশনের মধ্যে আরেকটি ফাংশন, তার মধ্যে আরেকটি ফাংশন অর্থাৎ একাধিক ফাংশনের সংযোজন ঘটে। এক্ষেত্রে সবচেয়ে বাইরের ফাংশনের আগে এবং ধীরে ধীরে ভিতরের ফাংশনের অন্তরীকরণ করে সবগুলো গুণন আকারে লিখতে হবে।
উদাহরণ- ০১ : y = ln (sin2x) হলে, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ?
সমাধান : y = ln (sin2x)
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ` \frac{\d}{\dx} ` ln (sin2x)
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ` \frac{\1}{\sin2x} ` cos2x. 2
or, ` \frac{\dy}{\dx} ` = 2 cot2x
উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : ` y = (2x - 4)^4` হলে, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ?
উদাহরণ- ০৩ : ` y = (sin2x)^4 ` হলে, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ?
উদাহরণ- ০৪: ` y = \sqrt{\sin\sqrt x}` হলে, ` \frac{\dy}{\dx} ` = ?
Tags
HSC Math