ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ৯ম অধ্যায়- ক্যালকুলাস থেকে – সীমা ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
এইচ এস সি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (৯ম অধ্যায়-ক্যালকুলাস) – সীমা
ফাংশনের সীমা:
কোন চল রাশি x এর মান কোন ধ্রবক সংখ্যা a এর বাম বা ডানদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হলে কোন ফাংশন f(x) এর মান যদি L এর দিকে অগ্রসর হয় তখন L কে f(x) ফাংশনটির সীমা বলে। limx→a f(x) = L
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. limθ→0(sinθθ) = limθ→0(θsinθ) = 1
2.limθ→0(tanθθ) = limθ→0(θtanθ) = 1
3. limx→a(xn-anx-a)=nan-1
4. limx→0(ex-1x)=0
5. limx→0(1+x)1x =limx→0(1+1x)x = e
Type- 1 : বীজগণিতীয় ফাংশনের সীমা নির্ণয় :
example-1:limx→3 x2–
= \lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x\+3)(x-3)}{x\–\3}
= \lim_{x\rightarrow 3} (x + 3)
= 3 +3
= 6 [ans.]
N.B: এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায়। কারণ, উপর নিচে x = 3 বসালে \frac0\0 আকারে আসে ।
L’ Hopitals Rule : কোন অংক যদি \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} আকারে থাকে এবং x = a বসালে যদি \frac{f(x)}{g(x)}এর মান \frac0\0 অথবা \frac\infty\infty আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার \frac0\0 অথবা \frac\infty\inftyআকারে আসবে ততোবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।
example-1: \lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^2\–\9}{x\–\3}
= \lim_{x\rightarrow 3} \frac{2x-0}{1\–\0}
একবার Differentiation করে আবার Limit বসিয়ে দেখতে হবে ফাংশনটি অনির্ণেয় আকারে আছে কি না। যদি অনির্ণেয় আকারে না থাকে তবে Limit বসালেই ফাংশনটির Limiting value পাওয়া যাবে।
= 2.3
= 6 [ans.]
example-2: \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2\–\4}{x^2\–\5x\+\6\
example-3: \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2\–\2x\–\8}{x\–\2\}
Type- 2 :\lim_{x\rightarrow\alpha} আকারে থাকলে -
আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে।
example-1: \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\+\3}{\x^2\+\5x\+\6\}
= \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\(1+\frac3{x^2})}{x^2(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\
= \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\(1+\frac3{x^2})}{(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\
= \frac{(1\+0\)}{(1\+\0\+0)\}
= 1 [ans.]
Note : \frac{S}\infty = 0
example-2: \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3^x\–\3^{–x}}{3^x\+\3^{–x}}
example-3: \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1\–\3^{–2x}}{1\+\3^{–2x}}
example-4: \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x}{x\+\1\}
Type- 3 : n এর মূলদ মানের জন্য, \lim_{x\rightarrow a}(\frac{x^n-a^n}{x-a}\)\=\na^{n-1} আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac5\2–\a^\frac5\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
= \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{(\sqrt x)^5\–\(\sqrt a)^5}{\sqrt x\-\sqrt a}\
= 5\times\left(a\right)^{5-1}
= 5\times\a^2
= 5\a^2 [ans.]
example-2: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac3\2–\a^\frac3\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
example-3: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac7\2–\a^\frac7\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
example-4: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac9\2–\a^\frac9\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
Type- 4 : \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac1x\ = \lim_{x\rightarrow 0}(\1\+\frac1x\)^x = e আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^\frac1x
= \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^{\frac1{5x}x}
= e^5 [ans.]
example-2: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+3x\right)^\frac1x
example-3: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+7x\right)^\frac1x
example-4: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+9x\right)^\frac1x
এই অধ্যায়ের বাকি অংকগুলো পাবেন আল মামুন স্যারের সিটে। স্যারের সিটটি সংগ্রহ করে এই অধ্যায়ের প্রিপারেশন কমপ্লিট করে নিন। ধন্যবাদ।
Al Mamun Sir , 20/1, Indira Road, Medico Bhaban (3rd Floor), Farmgate, Dhaka, Mobile- 01915 427070
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
এইচ এস সি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (৯ম অধ্যায়-ক্যালকুলাস) – সীমা
ফাংশনের সীমা:
কোন চল রাশি x এর মান কোন ধ্রবক সংখ্যা a এর বাম বা ডানদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হলে কোন ফাংশন f(x) এর মান যদি L এর দিকে অগ্রসর হয় তখন L কে f(x) ফাংশনটির সীমা বলে। limx→a f(x) = L
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. limθ→0(sinθθ) = limθ→0(θsinθ) = 1
2.limθ→0(tanθθ) = limθ→0(θtanθ) = 1
3. limx→a(xn-anx-a)=nan-1
4. limx→0(ex-1x)=0
5. limx→0(1+x)1x =limx→0(1+1x)x = e
Type- 1 : বীজগণিতীয় ফাংশনের সীমা নির্ণয় :
example-1:limx→3 x2–
= \lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x\+3)(x-3)}{x\–\3}
= \lim_{x\rightarrow 3} (x + 3)
= 3 +3
= 6 [ans.]
N.B: এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায়। কারণ, উপর নিচে x = 3 বসালে \frac0\0 আকারে আসে ।
L’ Hopitals Rule : কোন অংক যদি \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} আকারে থাকে এবং x = a বসালে যদি \frac{f(x)}{g(x)}এর মান \frac0\0 অথবা \frac\infty\infty আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার \frac0\0 অথবা \frac\infty\inftyআকারে আসবে ততোবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।
example-1: \lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^2\–\9}{x\–\3}
= \lim_{x\rightarrow 3} \frac{2x-0}{1\–\0}
একবার Differentiation করে আবার Limit বসিয়ে দেখতে হবে ফাংশনটি অনির্ণেয় আকারে আছে কি না। যদি অনির্ণেয় আকারে না থাকে তবে Limit বসালেই ফাংশনটির Limiting value পাওয়া যাবে।
= 2.3
= 6 [ans.]
example-2: \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2\–\4}{x^2\–\5x\+\6\
example-3: \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2\–\2x\–\8}{x\–\2\}
Type- 2 :\lim_{x\rightarrow\alpha} আকারে থাকলে -
আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে।
example-1: \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\+\3}{\x^2\+\5x\+\6\}
= \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\(1+\frac3{x^2})}{x^2(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\
= \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\(1+\frac3{x^2})}{(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\
= \frac{(1\+0\)}{(1\+\0\+0)\}
= 1 [ans.]
Note : \frac{S}\infty = 0
example-2: \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3^x\–\3^{–x}}{3^x\+\3^{–x}}
example-3: \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1\–\3^{–2x}}{1\+\3^{–2x}}
example-4: \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x}{x\+\1\}
Type- 3 : n এর মূলদ মানের জন্য, \lim_{x\rightarrow a}(\frac{x^n-a^n}{x-a}\)\=\na^{n-1} আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac5\2–\a^\frac5\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
= \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{(\sqrt x)^5\–\(\sqrt a)^5}{\sqrt x\-\sqrt a}\
= 5\times\left(a\right)^{5-1}
= 5\times\a^2
= 5\a^2 [ans.]
example-2: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac3\2–\a^\frac3\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
example-3: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac7\2–\a^\frac7\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
example-4: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac9\2–\a^\frac9\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
Type- 4 : \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac1x\ = \lim_{x\rightarrow 0}(\1\+\frac1x\)^x = e আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^\frac1x
= \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^{\frac1{5x}x}
= e^5 [ans.]
example-2: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+3x\right)^\frac1x
example-3: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+7x\right)^\frac1x
example-4: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+9x\right)^\frac1x
এই অধ্যায়ের বাকি অংকগুলো পাবেন আল মামুন স্যারের সিটে। স্যারের সিটটি সংগ্রহ করে এই অধ্যায়ের প্রিপারেশন কমপ্লিট করে নিন। ধন্যবাদ।
Al Mamun Sir , 20/1, Indira Road, Medico Bhaban (3rd Floor), Farmgate, Dhaka, Mobile- 01915 427070
Tags
HSC Math