ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ৯ম অধ্যায়- ক্যালকুলাস থেকে – সীমা ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
এইচ এস সি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (৯ম অধ্যায়-ক্যালকুলাস) – সীমা
ফাংশনের সীমা:
কোন চল রাশি x এর মান কোন ধ্রবক সংখ্যা a এর বাম বা ডানদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হলে কোন ফাংশন f(x) এর মান যদি L এর দিকে অগ্রসর হয় তখন L কে f(x) ফাংশনটির সীমা বলে। ` \lim_{x\rightarrow a}` f(x) = L
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. ` \lim_{θ\rightarrow 0} (sinθ/θ)` = ` \lim_{θ\rightarrow 0} (θ/sinθ)` = 1
2.` \lim_{θ\rightarrow 0} (tanθ/θ)` = ` \lim_{θ\rightarrow 0} (θ/tanθ)` = 1
3. ` \lim_{x\rightarrow a}``(\frac{x^n-a^n}{x-a}\)\=\na^{n-1}`
4. ` \lim_{x\rightarrow 0} \(\frac{\e^x-1}x)\=\0 `
5. ` \lim_{x\rightarrow 0}``(1+x)^\frac1x\ = \lim_{x\rightarrow 0}(\1\+\frac1x\)^x ` = e
Type- 1 : বীজগণিতীয় ফাংশনের সীমা নির্ণয় :
example-1:` \lim_{x\rightarrow 3}` `\frac{x^2\–\9}{x\–\3}`
= ` \lim_{x\rightarrow 3}` `\frac{(x\+3)(x-3)}{x\–\3}`
= ` \lim_{x\rightarrow 3}` (x + 3)
= 3 +3
= 6 [ans.]
N.B: এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায়। কারণ, উপর নিচে x = 3 বসালে `\frac0\0` আকারে আসে ।
L’ Hopitals Rule : কোন অংক যদি ` \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}` আকারে থাকে এবং x = a বসালে যদি `\frac{f(x)}{g(x)}`এর মান `\frac0\0` অথবা `\frac\infty\infty` আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার `\frac0\0` অথবা `\frac\infty\infty`আকারে আসবে ততোবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।
example-1: `\lim_{x\rightarrow 3}` `\frac{x^2\–\9}{x\–\3}`
= ` \lim_{x\rightarrow 3}` `\frac{2x-0}{1\–\0}`
একবার Differentiation করে আবার Limit বসিয়ে দেখতে হবে ফাংশনটি অনির্ণেয় আকারে আছে কি না। যদি অনির্ণেয় আকারে না থাকে তবে Limit বসালেই ফাংশনটির Limiting value পাওয়া যাবে।
= 2.3
= 6 [ans.]
example-2: `\lim_{x\rightarrow 2}` `\frac{x^2\–\4}{x^2\–\5x\+\6\ `
example-3: `\lim_{x\rightarrow 2}` ` \frac{x^2\–\2x\–\8}{x\–\2\} `
Type- 2 :`\lim_{x\rightarrow\alpha} ` আকারে থাকলে -
আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে।
example-1: `\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\+\3}{\x^2\+\5x\+\6\} `
= `\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\(1+\frac3{x^2})}{x^2(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\ `
= `\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\(1+\frac3{x^2})}{(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\ `
= ` \frac{(1\+0\)}{(1\+\0\+0)\} `
= 1 [ans.]
Note : ` \frac{S}\infty `= 0
example-2: ` \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3^x\–\3^{–x}}{3^x\+\3^{–x}} `
example-3: ` \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1\–\3^{–2x}}{1\+\3^{–2x}} `
example-4: ` \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x}{x\+\1\} `
Type- 3 : n এর মূলদ মানের জন্য, ` \lim_{x\rightarrow a}``(\frac{x^n-a^n}{x-a}\)\=\na^{n-1} ` আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac5\2–\a^\frac5\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
= ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{(\sqrt x)^5\–\(\sqrt a)^5}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
= `5\times\left(a\right)^{5-1} `
= ` 5\times\a^2 `
= ` 5\a^2 ` [ans.]
example-2: ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac3\2–\a^\frac3\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
example-3: ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac7\2–\a^\frac7\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
example-4: ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac9\2–\a^\frac9\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
Type- 4 : ` \lim_{x\rightarrow 0}``(1+x)^\frac1x\ = \lim_{x\rightarrow 0}(\1\+\frac1x\)^x ` = e আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^\frac1x `
= ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^{\frac1{5x}x} `
= e^5 [ans.]
example-2: ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+3x\right)^\frac1x `
example-3: ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+7x\right)^\frac1x `
example-4: ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+9x\right)^\frac1x `
এই অধ্যায়ের বাকি অংকগুলো পাবেন আল মামুন স্যারের সিটে। স্যারের সিটটি সংগ্রহ করে এই অধ্যায়ের প্রিপারেশন কমপ্লিট করে নিন। ধন্যবাদ।
Al Mamun Sir , 20/1, Indira Road, Medico Bhaban (3rd Floor), Farmgate, Dhaka, Mobile- 01915 427070
অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট
এইচ এস সি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (৯ম অধ্যায়-ক্যালকুলাস) – সীমা
ফাংশনের সীমা:
কোন চল রাশি x এর মান কোন ধ্রবক সংখ্যা a এর বাম বা ডানদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হলে কোন ফাংশন f(x) এর মান যদি L এর দিকে অগ্রসর হয় তখন L কে f(x) ফাংশনটির সীমা বলে। ` \lim_{x\rightarrow a}` f(x) = L
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. ` \lim_{θ\rightarrow 0} (sinθ/θ)` = ` \lim_{θ\rightarrow 0} (θ/sinθ)` = 1
2.` \lim_{θ\rightarrow 0} (tanθ/θ)` = ` \lim_{θ\rightarrow 0} (θ/tanθ)` = 1
3. ` \lim_{x\rightarrow a}``(\frac{x^n-a^n}{x-a}\)\=\na^{n-1}`
4. ` \lim_{x\rightarrow 0} \(\frac{\e^x-1}x)\=\0 `
5. ` \lim_{x\rightarrow 0}``(1+x)^\frac1x\ = \lim_{x\rightarrow 0}(\1\+\frac1x\)^x ` = e
Type- 1 : বীজগণিতীয় ফাংশনের সীমা নির্ণয় :
example-1:` \lim_{x\rightarrow 3}` `\frac{x^2\–\9}{x\–\3}`
= ` \lim_{x\rightarrow 3}` `\frac{(x\+3)(x-3)}{x\–\3}`
= ` \lim_{x\rightarrow 3}` (x + 3)
= 3 +3
= 6 [ans.]
N.B: এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায়। কারণ, উপর নিচে x = 3 বসালে `\frac0\0` আকারে আসে ।
L’ Hopitals Rule : কোন অংক যদি ` \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}` আকারে থাকে এবং x = a বসালে যদি `\frac{f(x)}{g(x)}`এর মান `\frac0\0` অথবা `\frac\infty\infty` আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার `\frac0\0` অথবা `\frac\infty\infty`আকারে আসবে ততোবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।
example-1: `\lim_{x\rightarrow 3}` `\frac{x^2\–\9}{x\–\3}`
= ` \lim_{x\rightarrow 3}` `\frac{2x-0}{1\–\0}`
একবার Differentiation করে আবার Limit বসিয়ে দেখতে হবে ফাংশনটি অনির্ণেয় আকারে আছে কি না। যদি অনির্ণেয় আকারে না থাকে তবে Limit বসালেই ফাংশনটির Limiting value পাওয়া যাবে।
= 2.3
= 6 [ans.]
example-2: `\lim_{x\rightarrow 2}` `\frac{x^2\–\4}{x^2\–\5x\+\6\ `
example-3: `\lim_{x\rightarrow 2}` ` \frac{x^2\–\2x\–\8}{x\–\2\} `
Type- 2 :`\lim_{x\rightarrow\alpha} ` আকারে থাকলে -
আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে।
example-1: `\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\+\3}{\x^2\+\5x\+\6\} `
= `\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\(1+\frac3{x^2})}{x^2(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\ `
= `\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\(1+\frac3{x^2})}{(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\ `
= ` \frac{(1\+0\)}{(1\+\0\+0)\} `
= 1 [ans.]
Note : ` \frac{S}\infty `= 0
example-2: ` \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3^x\–\3^{–x}}{3^x\+\3^{–x}} `
example-3: ` \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1\–\3^{–2x}}{1\+\3^{–2x}} `
example-4: ` \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x}{x\+\1\} `
Type- 3 : n এর মূলদ মানের জন্য, ` \lim_{x\rightarrow a}``(\frac{x^n-a^n}{x-a}\)\=\na^{n-1} ` আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac5\2–\a^\frac5\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
= ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{(\sqrt x)^5\–\(\sqrt a)^5}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
= `5\times\left(a\right)^{5-1} `
= ` 5\times\a^2 `
= ` 5\a^2 ` [ans.]
example-2: ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac3\2–\a^\frac3\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
example-3: ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac7\2–\a^\frac7\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
example-4: ` \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac9\2–\a^\frac9\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\ `
Type- 4 : ` \lim_{x\rightarrow 0}``(1+x)^\frac1x\ = \lim_{x\rightarrow 0}(\1\+\frac1x\)^x ` = e আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^\frac1x `
= ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^{\frac1{5x}x} `
= e^5 [ans.]
example-2: ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+3x\right)^\frac1x `
example-3: ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+7x\right)^\frac1x `
example-4: ` \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+9x\right)^\frac1x `
এই অধ্যায়ের বাকি অংকগুলো পাবেন আল মামুন স্যারের সিটে। স্যারের সিটটি সংগ্রহ করে এই অধ্যায়ের প্রিপারেশন কমপ্লিট করে নিন। ধন্যবাদ।
Al Mamun Sir , 20/1, Indira Road, Medico Bhaban (3rd Floor), Farmgate, Dhaka, Mobile- 01915 427070
Tags
HSC Math