Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (অন্তরীকরণ-১: সীমা)

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ৯ম অধ্যায়- ক্যালকুলাস থেকে – সীমা ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

এইচ এস সি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (৯ম অধ্যায়-ক্যালকুলাস) – সীমা


ফাংশনের সীমা:
কোন চল রাশি x এর মান কোন ধ্রবক সংখ্যা a এর বাম বা ডানদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হলে কোন ফাংশন f(x) এর মান যদি L এর দিকে অগ্রসর হয় তখন L কে f(x) ফাংশনটির সীমা বলে। limxa f(x) = L

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :

1. limθ0(sinθθ) = limθ0(θsinθ) = 1
2.limθ0(tanθθ) = limθ0(θtanθ) = 1
3. limxa(xn-anx-a)=nan-1
4. limx0(ex-1x)=0
5. limx0(1+x)1x =limx0(1+1x)x = e

Type- 1 : বীজগণিতীয় ফাংশনের সীমা নির্ণয় :
example-1:limx3 x2
= \lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x\+3)(x-3)}{x\–\3}
= \lim_{x\rightarrow 3} (x + 3)
= 3 +3
= 6 [ans.]

N.B: এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায়। কারণ, উপর নিচে x = 3 বসালে \frac0\0 আকারে আসে ।

L’ Hopitals Rule : কোন অংক যদি \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} আকারে থাকে এবং x = a বসালে যদি \frac{f(x)}{g(x)}এর মান \frac0\0 অথবা \frac\infty\infty আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার \frac0\0 অথবা \frac\infty\inftyআকারে আসবে ততোবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।

example-1: \lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^2\–\9}{x\–\3}
= \lim_{x\rightarrow 3} \frac{2x-0}{1\–\0}
একবার Differentiation করে আবার Limit বসিয়ে দেখতে হবে ফাংশনটি অনির্ণেয় আকারে আছে কি না। যদি অনির্ণেয় আকারে না থাকে তবে Limit বসালেই ফাংশনটির Limiting value পাওয়া যাবে।
= 2.3
= 6 [ans.]
example-2: \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2\–\4}{x^2\–\5x\+\6\
example-3: \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2\–\2x\–\8}{x\–\2\}

Type- 2 :\lim_{x\rightarrow\alpha} আকারে থাকলে -
আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে।
example-1: \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\+\3}{\x^2\+\5x\+\6\}
= \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2\(1+\frac3{x^2})}{x^2(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\
= \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\(1+\frac3{x^2})}{(1\+\frac5x\+\frac6{x^2})}\
= \frac{(1\+0\)}{(1\+\0\+0)\}
= 1 [ans.]

Note : \frac{S}\infty = 0

example-2: \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3^x\–\3^{–x}}{3^x\+\3^{–x}}
example-3: \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1\–\3^{–2x}}{1\+\3^{–2x}}
example-4: \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x}{x\+\1\}

Type- 3 : n এর মূলদ মানের জন্য, \lim_{x\rightarrow a}(\frac{x^n-a^n}{x-a}\)\=\na^{n-1} আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac5\2–\a^\frac5\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
= \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{(\sqrt x)^5\–\(\sqrt a)^5}{\sqrt x\-\sqrt a}\
= 5\times\left(a\right)^{5-1}
= 5\times\a^2
= 5\a^2 [ans.]

example-2: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac3\2–\a^\frac3\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
example-3: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac7\2–\a^\frac7\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\
example-4: \underset{x\rightarrow a}{\lim\}\frac{x^\frac9\2–\a^\frac9\2}{\sqrt x\-\sqrt a}\

Type- 4 : \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac1x\ = \lim_{x\rightarrow 0}(\1\+\frac1x\)^x = e আকারে সূত্রটির ব্যবহার :
example-1: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^\frac1x
= \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+5x\right)^{\frac1{5x}x}
= e^5 [ans.]

example-2: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+3x\right)^\frac1x
example-3: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+7x\right)^\frac1x
example-4: \lim_{x\rightarrow\0} \left(1+9x\right)^\frac1x

এই অধ্যায়ের বাকি অংকগুলো পাবেন আল মামুন স্যারের সিটে। স্যারের সিটটি সংগ্রহ করে এই অধ্যায়ের প্রিপারেশন কমপ্লিট করে নিন। ধন্যবাদ।
Al Mamun Sir , 20/1, Indira Road, Medico Bhaban (3rd Floor), Farmgate, Dhaka, Mobile- 01915 427070

Muhammad Abdullah Al Mamun

I am Abdullah Al Mamun. Lecturer of Tejgaon College dept. of Mathematics. Have completed M.S in Mathematics from Chittagong University.

Post a Comment

আপনার কোন কিছু জানার থাকলে কমেন্টস বক্স এ লিখতে পারেন। আমরা যথাযত চেস্টা করব আপনার সঠিক উত্তর দিতে। ভালো লাগলে ধন্যবাদ দিতে ভুলবেন না। শিক্ষার্থীরা নোট ,সাজেশান্স ও নতুন নতুন ভিডিও সবার আগে পেতে আমাদের Web School BD চ্যানেলটি সাবস্ক্রাইব SUBSCRIBE করতে পারো।
- শুভকামনায় ওয়েব স্কুল বিডি

Previous Post Next Post