ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ গণিতের জ্যামিতি -সরলরেখা ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হল।
ভূমিকা: রেখা বা সরলরেখা শব্দটির প্রবর্তন শুরু হয় নগণ্য প্রস্থ এবং নগণ্য গভীরতা বিশিষ্ট সোজা বস্তুকে সূচিত করার মাধ্যমে। গণিতবিদ Euclid সরলরেখাকে প্রস্থহীন দৈর্ঘ্য হিসেবে বর্ণনা করেছেন। এই অধ্যায়ে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি(Coordinate geometry) পদ্ধতিতে সরলরেখা সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। যে জ্যামিতিতে বিন্দু, রেখা ইত্যাদির অবস্থান স্থানাঙ্কের সাহায্যে উপস্থাপন করা হয় এবং বীজগণিতীয় পদ্ধতিতে পর্যালোচনা করা হয় তাই হচ্ছে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি। ফরাসী গণিতবিদ জবহব Rene Des Cartes (1596-1660) এবং Pierre de Fermat (1601-1665) সমতলীয় জ্যামিতিতে স্থানাঙ্কের অবতারণা করেন।
সরলরেখার প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক:
` x= r cos\theta ` এবং ` y= r sin\theta `
` r= \sqrt{x^2+y^2} ` এবং ` \theta = \tan^{-1}\frac yx `
2. `(x_1, y_1) ` ও `(x_2, y_2) ` বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = `\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}`
3. ax+by+c=0 সরলরেখার ঢাল, m = `\frac{-a}b `
4. x অক্ষের সমীকরণ, y = 0
5. y অক্ষের সমীকরণ, x = 0
6. x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, y = b
7. y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, x = a
8. y অক্ষ থেকে নিদিষ্ট অংশ c ছেদ করে এবং x অক্ষের সাথে ধনাত্মক কোণ θ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, y = mx+c. এখানে, m = সরলরেখার ঢাল = tanθ , c = 0 হলে সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হয় এবং সমীকরণটি দাড়ায়, y = mx
9.`(x_1, y_1) ` বিন্দুগামী ও m ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ `y-y_1 = m(x-x_1) `
10.`(x_1, y_1) ` ও `(x_2, y_2) ` বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ, ` \frac{x-x_1}{x_{1-}x_2}=\frac{y-y_1}{y_{1-}y_2} `
Type – 1 : কার্তেসীয় থেকে পোলার স্থানাঙ্কে ও সমীকরণে রুপান্তর -
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক:এ পদ্ধতিতে বিন্দু (x, y) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। x কে ভুজ (abscissa), y কে কোটি(ordinate) বলে। X ও Y অক্ষরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হওয়ায় কার্তেসীয় স্থানাঙ্ককে আয়তাকার স্থানাঙ্ক ও বলা হয়ে থাকে। মূলবিন্দুর স্থানাঙ্ক (x,y), X-অক্ষর উপরস্থ বিন্দু (x, 0) ও Y-অক্ষের উপর বিন্দু (0, y)|
পোলার স্থানাঙ্ক: এ পদ্ধতিতে বিন্দু `(r,\theta) ` দ্বারা প্রকাশ করা হয়। r কে ব্যাসার্ধ ভেক্টর ও `\theta ` কে ভেক্টরিয়াল কোণ বলে। পোলার স্থানাঙ্কের অপর নাম অক্ষকৌণিক স্থানাঙ্ক। O বিন্দুকে মেরু (Pole) এবং OX রেখাকে মূলরেখা বা আদিরেখা (Initial line) বলা হয়।
পোলার ও কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক:
` x= r cos\theta ` এবং ` y= r sin\theta `
` r= \sqrt{x^2+y^2} ` এবং ` \theta = \tan^{-1}\frac yx `
বিভিন্ন চতুর্ভাগে `\theta ` এর মান নির্ণয়:
(i) ১ম চতুর্ভাগে অর্থাৎ (x, y) বিন্দুর ক্ষেত্রে `\theta ` = ` \tan^{-1}\frac yx `
(ii) ২য় চতুর্ভাগে অর্থাৎ (–x, y) বিন্দুর ক্ষেত্রে `\theta ` = `\pi – \tan^{-1}\frac yx `
(iii) ৩য় চতুর্ভাগে অর্থাৎ (–x, – y) বিন্দুর ক্ষেত্রে `\theta ` = `\pi + \tan^{-1}\frac yx `
(iv) ৪র্থ চতুর্ভাগে অর্থাৎ (x, – y) বিন্দুর ক্ষেত্রে `\theta ` = `2\pi – \tan^{-1}\frac yx ` বা, `– \tan^{-1}\frac yx `
উদাহরণ- ০১ : কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক `(\sqrt3 , 1) ` হলে, ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান : এখানে, x = `\sqrt3 ` এবং y= 1
ধরি, বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক,`(r,\theta) `
পোলার ও কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক
` r= \sqrt{x^2+y^2} `
= ` \sqrt{{(-3)}^2+1^2} `
= ` \sqrt{9+1} `
= ` \sqrt{10} ` উত্তর :
এবং `\theta ` = `\pi – \tan^{-1} |\frac yx| ` [ ∵ বিন্দুটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত]
= `\pi – \tan^{-1} |\frac {1}\sqrt{-3} | `
= `\pi – \frac\pi6`
= ` \frac\{5pi}{6} `
উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : `x^2 + y^2 = 2 ` কার্তেসীয় সমীকরণকে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর।
সমাধান : কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক `(r,\theta) ` হলে,
` x= r cos\theta ` এবং ` y= r sin\theta `
`x^2 +y^2 = 2 `
বা, ` (r cos\theta)^2 + (r sin\theta)^2 = 2 `
বা, ` r^2 cos^2\theta + r^2 sin^2 \theta = 2 `
বা, ` r^2 (cos^2\theta + sin^2 \theta) = 2 `
বা, ` r^2 = 2 ` উত্তর :
উদাহরণ- ০৩ : `x^2 - y^2 = 2 ` কার্তেসীয় সমীকরণকে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর।
সমাধান : কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক `(r,\theta) ` হলে,
` x= r cos\theta ` এবং ` y= r sin\theta `
`x^2 - y^2 = 2 `
বা, ` (r cos\theta)^2 - (r sin\theta)^2 = 2 `
বা, ` r^2 cos^2\theta - r^2 sin^2 \theta = 2 `
বা, ` r^2 (cos^2\theta - sin^2 \theta) = 2 `
বা, ` r^2 cos2\theta = 2 ` উত্তর :
অনুরুপ প্রশ্ন :
উদাহরণ- ০৪ : কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক `( 1,\sqrt3 ) ` হলে, ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
Type – 2 : পোলার থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে ও সমীকরণে রুপান্তর -
উদাহরণ- ০১ : কোন বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক `(2 , \frac\{pi}{4}) ` হলে, ঐ বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান : এখানে, r = 2 এবং `\theta ` = ` \frac\{pi}{4} `
ধরি, বিন্দুটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক,`(x, y) `
পোলার ও কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক
` x= r cos\theta `
= ` 2 cos\frac\{pi}{4}`
= ` 2\frac1{\sqrt2} `
= ` \sqrt2 ` উত্তর :
এবং ` y= r sin\theta `
= ` 2 sin\frac\{pi}{4} `
= ` 2\frac1{\sqrt2} `
= ` \sqrt2 ` উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : ` r = 2a cos\theta ` পোলার সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।
সমাধান : কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক `(r,\theta) ` হলে,
` r^2= x^2+y^2 ` এবং `x = rcos\theta `
এখন, ` r = 2a cos\theta `
বা, ` r.r = 2a. rcos\theta `
বা, ` r^2 = 2a x `
বা, ` x^2+y^2 = 2 ax` উত্তর :
অনুরুপ প্রশ্ন :
উদাহরণ- ০৩ : ` r = 2a sin\theta ` পোলার সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।
উদাহরণ- ০৪ : কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক `( 1,\sqrt3 ) ` হলে, ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
Type – 3 : দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব ও বিন্দু হতে অক্ষের দূরত্ব- -
উদাহরণ- ০১ : (4, 13) ও (1, 9) হলে,বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় A(4, 13) ও B(1, 9)
A ও B মধ্যবর্তী দূরত্ব AB = `\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}`
= `\sqrt{(1-4)^2+(9-13)^2}`
= `\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}`
= `\sqrt{9+16}`
= `\sqrt{25}`
= 5 উত্তর :
অনুরুপ প্রশ্ন :
উদাহরণ- ০২ : প্রমাণ কর যে, (-1, 1), (1, 5) এবং (3, 9) বিন্দুগুলি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
উদাহরণ- ০৩ : দেখাও যে, (6, 1), (-3, 4), (-7, 0) এবং (2, -3) বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।
উদাহরণ- ০৪ : y-অক্ষ ও (-4, -6) থেকে (a, 6) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে a এর মান নির্ণয় কর।
ভূমিকা: রেখা বা সরলরেখা শব্দটির প্রবর্তন শুরু হয় নগণ্য প্রস্থ এবং নগণ্য গভীরতা বিশিষ্ট সোজা বস্তুকে সূচিত করার মাধ্যমে। গণিতবিদ Euclid সরলরেখাকে প্রস্থহীন দৈর্ঘ্য হিসেবে বর্ণনা করেছেন। এই অধ্যায়ে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি(Coordinate geometry) পদ্ধতিতে সরলরেখা সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। যে জ্যামিতিতে বিন্দু, রেখা ইত্যাদির অবস্থান স্থানাঙ্কের সাহায্যে উপস্থাপন করা হয় এবং বীজগণিতীয় পদ্ধতিতে পর্যালোচনা করা হয় তাই হচ্ছে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি। ফরাসী গণিতবিদ জবহব Rene Des Cartes (1596-1660) এবং Pierre de Fermat (1601-1665) সমতলীয় জ্যামিতিতে স্থানাঙ্কের অবতারণা করেন।
সরলরেখার প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী :
1. কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক:
` x= r cos\theta ` এবং ` y= r sin\theta `
` r= \sqrt{x^2+y^2} ` এবং ` \theta = \tan^{-1}\frac yx `
2. `(x_1, y_1) ` ও `(x_2, y_2) ` বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = `\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}`
3. ax+by+c=0 সরলরেখার ঢাল, m = `\frac{-a}b `
4. x অক্ষের সমীকরণ, y = 0
5. y অক্ষের সমীকরণ, x = 0
6. x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, y = b
7. y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, x = a
8. y অক্ষ থেকে নিদিষ্ট অংশ c ছেদ করে এবং x অক্ষের সাথে ধনাত্মক কোণ θ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, y = mx+c. এখানে, m = সরলরেখার ঢাল = tanθ , c = 0 হলে সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হয় এবং সমীকরণটি দাড়ায়, y = mx
9.`(x_1, y_1) ` বিন্দুগামী ও m ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ `y-y_1 = m(x-x_1) `
10.`(x_1, y_1) ` ও `(x_2, y_2) ` বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ, ` \frac{x-x_1}{x_{1-}x_2}=\frac{y-y_1}{y_{1-}y_2} `
Type – 1 : কার্তেসীয় থেকে পোলার স্থানাঙ্কে ও সমীকরণে রুপান্তর -
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক:এ পদ্ধতিতে বিন্দু (x, y) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। x কে ভুজ (abscissa), y কে কোটি(ordinate) বলে। X ও Y অক্ষরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হওয়ায় কার্তেসীয় স্থানাঙ্ককে আয়তাকার স্থানাঙ্ক ও বলা হয়ে থাকে। মূলবিন্দুর স্থানাঙ্ক (x,y), X-অক্ষর উপরস্থ বিন্দু (x, 0) ও Y-অক্ষের উপর বিন্দু (0, y)|
পোলার স্থানাঙ্ক: এ পদ্ধতিতে বিন্দু `(r,\theta) ` দ্বারা প্রকাশ করা হয়। r কে ব্যাসার্ধ ভেক্টর ও `\theta ` কে ভেক্টরিয়াল কোণ বলে। পোলার স্থানাঙ্কের অপর নাম অক্ষকৌণিক স্থানাঙ্ক। O বিন্দুকে মেরু (Pole) এবং OX রেখাকে মূলরেখা বা আদিরেখা (Initial line) বলা হয়।
পোলার ও কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক:
` x= r cos\theta ` এবং ` y= r sin\theta `
` r= \sqrt{x^2+y^2} ` এবং ` \theta = \tan^{-1}\frac yx `
বিভিন্ন চতুর্ভাগে `\theta ` এর মান নির্ণয়:
(i) ১ম চতুর্ভাগে অর্থাৎ (x, y) বিন্দুর ক্ষেত্রে `\theta ` = ` \tan^{-1}\frac yx `
(ii) ২য় চতুর্ভাগে অর্থাৎ (–x, y) বিন্দুর ক্ষেত্রে `\theta ` = `\pi – \tan^{-1}\frac yx `
(iii) ৩য় চতুর্ভাগে অর্থাৎ (–x, – y) বিন্দুর ক্ষেত্রে `\theta ` = `\pi + \tan^{-1}\frac yx `
(iv) ৪র্থ চতুর্ভাগে অর্থাৎ (x, – y) বিন্দুর ক্ষেত্রে `\theta ` = `2\pi – \tan^{-1}\frac yx ` বা, `– \tan^{-1}\frac yx `
উদাহরণ- ০১ : কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক `(\sqrt3 , 1) ` হলে, ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান : এখানে, x = `\sqrt3 ` এবং y= 1
ধরি, বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক,`(r,\theta) `
পোলার ও কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক
` r= \sqrt{x^2+y^2} `
= ` \sqrt{{(-3)}^2+1^2} `
= ` \sqrt{9+1} `
= ` \sqrt{10} ` উত্তর :
এবং `\theta ` = `\pi – \tan^{-1} |\frac yx| ` [ ∵ বিন্দুটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত]
= `\pi – \tan^{-1} |\frac {1}\sqrt{-3} | `
= `\pi – \frac\pi6`
= ` \frac\{5pi}{6} `
উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : `x^2 + y^2 = 2 ` কার্তেসীয় সমীকরণকে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর।
সমাধান : কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক `(r,\theta) ` হলে,
` x= r cos\theta ` এবং ` y= r sin\theta `
`x^2 +y^2 = 2 `
বা, ` (r cos\theta)^2 + (r sin\theta)^2 = 2 `
বা, ` r^2 cos^2\theta + r^2 sin^2 \theta = 2 `
বা, ` r^2 (cos^2\theta + sin^2 \theta) = 2 `
বা, ` r^2 = 2 ` উত্তর :
উদাহরণ- ০৩ : `x^2 - y^2 = 2 ` কার্তেসীয় সমীকরণকে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর।
সমাধান : কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক `(r,\theta) ` হলে,
` x= r cos\theta ` এবং ` y= r sin\theta `
`x^2 - y^2 = 2 `
বা, ` (r cos\theta)^2 - (r sin\theta)^2 = 2 `
বা, ` r^2 cos^2\theta - r^2 sin^2 \theta = 2 `
বা, ` r^2 (cos^2\theta - sin^2 \theta) = 2 `
বা, ` r^2 cos2\theta = 2 ` উত্তর :
অনুরুপ প্রশ্ন :
উদাহরণ- ০৪ : কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক `( 1,\sqrt3 ) ` হলে, ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
Type – 2 : পোলার থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে ও সমীকরণে রুপান্তর -
উদাহরণ- ০১ : কোন বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক `(2 , \frac\{pi}{4}) ` হলে, ঐ বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান : এখানে, r = 2 এবং `\theta ` = ` \frac\{pi}{4} `
ধরি, বিন্দুটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক,`(x, y) `
পোলার ও কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক
` x= r cos\theta `
= ` 2 cos\frac\{pi}{4}`
= ` 2\frac1{\sqrt2} `
= ` \sqrt2 ` উত্তর :
এবং ` y= r sin\theta `
= ` 2 sin\frac\{pi}{4} `
= ` 2\frac1{\sqrt2} `
= ` \sqrt2 ` উত্তর :
উদাহরণ- ০২ : ` r = 2a cos\theta ` পোলার সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।
সমাধান : কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক `(r,\theta) ` হলে,
` r^2= x^2+y^2 ` এবং `x = rcos\theta `
এখন, ` r = 2a cos\theta `
বা, ` r.r = 2a. rcos\theta `
বা, ` r^2 = 2a x `
বা, ` x^2+y^2 = 2 ax` উত্তর :
অনুরুপ প্রশ্ন :
উদাহরণ- ০৩ : ` r = 2a sin\theta ` পোলার সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।
উদাহরণ- ০৪ : কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক `( 1,\sqrt3 ) ` হলে, ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
Type – 3 : দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব ও বিন্দু হতে অক্ষের দূরত্ব- -
উদাহরণ- ০১ : (4, 13) ও (1, 9) হলে,বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় A(4, 13) ও B(1, 9)
A ও B মধ্যবর্তী দূরত্ব AB = `\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}`
= `\sqrt{(1-4)^2+(9-13)^2}`
= `\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}`
= `\sqrt{9+16}`
= `\sqrt{25}`
= 5 উত্তর :
অনুরুপ প্রশ্ন :
উদাহরণ- ০২ : প্রমাণ কর যে, (-1, 1), (1, 5) এবং (3, 9) বিন্দুগুলি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
উদাহরণ- ০৩ : দেখাও যে, (6, 1), (-3, 4), (-7, 0) এবং (2, -3) বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।
উদাহরণ- ০৪ : y-অক্ষ ও (-4, -6) থেকে (a, 6) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে a এর মান নির্ণয় কর।
Tags
HSC Math