উচ্চতর গণিত ২য় পত্র - বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ(১)

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের বীজগণিত - বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations) নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট


বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations) : 

বহুপদী ও তার ঘাত (Polynomial and its degree) : বহুপদী এক ধরনের বীজগাণিতিক রাশি (Expression) । এতে এক বা একাধিক পদ (element) থাকতে পারে । এক বা একাধিক চলকের (variable) কেবলমাত্র ধনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও কোন ধ্রুবকের (constant) গুণফল হল বহুপদীর বিভিন্ন পদ । বহুপদীর পদগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদীয় ঘাত (Degree) বলে ।

এক চলকের বহুপদী : এর প্রতি পদে শুধুমাত্র একটি চলকের বিভিন্ন পূর্ণ সাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবক থাকে । যেমন : `a_0x_n+a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\;......+a_n` একটি এক চলকের বহুপদী যেখানে x চলক । `a_0,\;a_1,\;a_2,\;......\;a_n\;\in\;R` হল ধ্রুবক যেখানে `a_0\;\neq\;0` । n হল x এর সর্বাধিক ঘাত । লক্ষণীয়, x এর ঘাত কখনও ঋণাত্মক হতে পারবে না । `a_0` কে মুখ্য সহগ বলা হয় । এক চলক x-বিশিষ্ট এরূপ বহুপদী রাশিকে f(x) দ্বারাও প্রকাশ করা হয় ।

বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equation) : `a_0x_n+a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\;......+a_n` = 0 আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলে । x এর যে মানগুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয়, ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল (Roots) বলা হয় । n = 1,2,3 এর জন্য বহুপদী সমীকরণটিকে যথাক্রমে সরল সমীকরণ (Linear equation), দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), ত্রিঘাত সমীকরণ (cubic equation) বলা হয় ।

বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য (Theorems of polynomial equations) : 
 i. বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental theorem of algebra) : প্রতিটি বহুপদী সমীকরণের অন্তত একটি মূল (বাস্তব কিংবা জটিল) থাকে ।
 ii. n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে n সংখ্যক মূল আছে (বাস্তব কিংবা জটিল) । তবে সব মূলগুলো ভিন্ন নাও হতে পারে ।
iii. ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) : যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে f(a) ।
iv. উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) : যদি a, বহুপদী সমীকরণ f(x) এর একটি মূল হয় তবে (x-a) বহুপদী f(x) এর একটি উৎপাদক হবে ।
v. অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য (Conjugate pairs theorem) : a+ib কোন বহুপদী সমীকরণের জটিল মূল হলে এর অনুবন্ধী a-ib ও সমীকরণের মূল হবে । এবং a+√b একটি মূল হলে (যেখানে √b অমূলদ), এর অনুবন্ধী a-√b ও সমীকরণের একটি মূল হবে ।

 বহুপদীর মূল সহগ সম্পর্ক : যদি a,b,c,d, ...... k কোন বহুপদী সমীকরণ `p_0x_n+p_1x_{n-1}+p_2x_{n-2}+\......\+p_n` এর মূল হয় তবে,
 i. a+b+c+ ...... + k = - `p_1/p_0`
ii. ab+bc+cd+ ...... = `P_2/P_0`
iii. ` a×b×c×d×......× k` = `(-1)^n (p_n/p_0)`

 দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 2 হলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ- `ax^2+bx+c = 0` যেখানে a≠0; a,b,c মূলদ সংখ্যা উক্ত সমীকরণ সমাধান করলে x এর দুইটি মান পাওয়া যাবে অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল হবে- এবং

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ` ax^2+bx+c = 0 ` সমীকরণের মূল দুইটি α এবং β (α>β) হলে, i. = α+β = -b/a = -
ii. αβ = c/a =

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি (Nature of the roots) : আমরা জানি, `ax^2+bx+c` = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূল, x = । এখানে, `(b^2-4ac)` এর মান পর্যালোচনা করলেই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানা যায় । এজন্য `(b^2-4ac)` কে দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক বা নিরূপক (Discriminant) বলা হয় ।
i. যদি `b^2-4ac=0 `⇒ `b2=4ac` হয় তবে মূল দুইটি হবে –b/2a এবং –b/2a । অর্থাৎ মূল দুইটি বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে ।
ii. ` b^2-4ac `লে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে ।
iii. ` b^2-4ac` হলে মূলদ্বয় অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা হবে ।
iv. `(b^2-4ac)` পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে ।
v. c = 0 হলে একটি মূল 0 হবে ।
vi. b = 0 হলে মূল দুইটি হবে √(-c/a) এবং -√(-c/a) অর্থাৎ মূল দুইটির মান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে ।
লক্ষণীয়, এক্ষেত্রে a ও c একই চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় জটিল এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় বাস্তব হবে ।

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ মূল থাকার শর্ত : `a_1x_2+b_1x+c_1`=0 ও `a_2x_2+b_2x+c_2`=0 সমীকরণদ্বয়ের-
i. একটি মূল সাধারণ হবে যদি `(a_1b_2-a_2b_1)(b_1c_2-b_2c_1) = (c_1a_2-c_2a_1)^2 `হয় ।
ii. উভয় মূলই সাধারণ হবে যদি `a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2 `হয় ।

দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন : দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল দেয়া থাকলে তা থেকে দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করা যায় । সমীকরণটি হবে- x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0
অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল α ও β হলে সমীকরণটি হবে- `x^2 - (α+β)x + αβ = 0 `

ত্রিঘাত সমীকরণ Cubic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 3 হলে তাকে ত্রিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ- `ax^3+bx^2+cx+d = 0; `যেখানে a≠0; a,b,c,d মূলদ সংখ্যা

ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : `ax^3+bx^2+cx+d = 0` সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ হলে-
i. α+β+γ = -b/a
ii. αβ+βγ+γα = c/a
iii. αβγ = -d/a

 Important formulae :
i. ` (a+b)^2 \= \a^2+2ab+b^2 = \(a-b)^2+4ab`
ii. `(a-b)^2 \= \a^2-2ab+b^2 = \(a+b)^2-4ab`
iii. `4ab \= \(a+b)2-(a-b)2`
iv. `a^2+b^2 \= \(a+b)^2-2ab =\ (a-b)^2+2ab`
v. `a^3+b^3 \= \(a+b)^3-3ab(a+b) = \(a+b)(a^2-ab+b^2)`
vi. ` a^3-b^3\ =\ (a-b)3+3ab(a-b) = \(a-b)(a2+ab+b2)`
vii. `a^4+b^4\ = \[(a+b)^2-2ab]2-2(ab)^2`
viii. `a^2+b^2+c^2 \= \(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)`
ix. ` (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\ = \2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)`
x. `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \= \2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)`
xi. ` a^3+b^3+c^3-3abc\=\(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)`
= `½ (a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}`
= `(a+b+c){(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}`