উচ্চতর গণিত ১ম পত্র- ম্যাট্রিক্স (১)

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র- ম্যাট্রিক্স (Matrix) ও নির্ণায়ক (Determinants) নিয়ে আলোচনা করা হলো

Type-১: ম্যাট্রিক্সের সংঙ্গা ও ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ-

ম্যাট্রিক্স (Matrix): ম্যাট্রিক্স হচ্ছে সংখ্যা বা প্রতীক বা বীজগণিতীয় রাশির আয়তাকার সাজানো ব্যবস্থা।

• ম্যাট্রিক্স প্রকাশ করতে সাধারণত তৃতীয় বন্ধনী [ ] বা প্রথম বন্ধনী ( ) অথবা ।। ।। প্রতীক ব্যবহার করা হয়।
• যে সংখ্যা বা রাশি নিয়ে ম্যাট্রিক্স গঠিত হয় তাদেরকে ম্যাট্রিক্সের ভুক্তি (বহঃৎু) বলে।
• ম্যাট্রিক্সের নামকরণের জন্য সাধারণত ইংরেজি বড় হাতের অক্ষর (যেমন: A, B, C) ব্যবহৃত হয়।
• ভুক্তি বুঝানোর জন্য ছোট হাতের অক্ষর (যেমন: a, b, c) ব্যবহৃত হয়।
• বাম থেকে ডানের () ভুক্তিগুলি নিয়ে ম্যাট্রিক্সের সারি (Row) গঠিত হয়।
• আর উপর থেকে নিচ () ভুক্তিগুলি নিয়ে ম্যাট্রিক্সের কলাম (Column) বা স্তম্ভ গঠিত হয়।

ম্যাট্রিক্সেও ক্রম ও মোট ভুক্তি : উপরের অ ম্যাট্রিক্সটিতে ২টি সারি এবং ৪টি কলাম আছে। এর ক্রম বা আকার (Order) ২ by ৪ (টু বাই ফোর) বলা হয়। প্রথমে সারি সংখ্যা এবং পরে কলাম সংখ্যা লিখা হয়। কোনো ম্যাট্রিক্সের মোট ভুক্তিসংখ্যা এর সারি সংখ্যা ও কলাম সংখ্যার গুণফলের সমান। যেমন অ ম্যাট্রিক্সটিতে ২ . ৪ = ৮ টি ভুক্তি আছে।

বিভিন্ন প্রকারের ম্যাট্রিক্স:

(i) সারি ম্যাট্রিক্স(Row Matrix): যে ম্যাট্রিক্সের কেবলমাত্র একটি সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন: [২ ৩ ৪ ৫] এবং [a1 a2 a3 ...... an] যথাক্রমে ১ by ৪ এবং ১ by n আকারের সারি ম্যাট্রিক্স।

(ii) কলাম ম্যাট্রিক্স(Column matrix): যে ম্যাট্রিক্সের কেবলমাত্র একটি কলাম থাকে তাকে কলাম ম্যাট্রিক্স বলে।

(iii)বর্গ ম্যাট্রিক্স(Square matrix): যে ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

(iv) কর্ণ ম্যাট্রিক্স(Diagonial matrix): যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের (অর্থাৎ aij, i = j) ভুক্তিগুলি শূন্য অথবা অশূন্য এবং অন্যান্য ভুক্তিসমূহ শূন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।

(v) ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স(Upper Triangular Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের নিচের (অর্থাৎ aij, i > j) ভুক্তিগুলি শূন্য হলে তাকে ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলে।

(vi) নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স(Lower Triangular Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপরের (অর্থাৎ aij, i < j) ভুক্তিগুলি শূন্য হলে তাকে নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলে।

(vii)স্কেলার ম্যাট্রিক্স(Scalar matrix):যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি সমান তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে।

(viii) অভেদক ম্যাট্রিক্স বা একক ম্যাট্রিক্স (Identity or Unit matrix):কর্ণ ম্যাট্রিক্সের কর্ণস্থিত সকল ভুক্তি ১ হলে তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বলে। অভেদক ম্যাট্রিক্সকে ও দ্বারা সূচিত করা হয়।

(ix) ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স(Upper Triangular Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের নিচের (অর্থাৎ aij, i > j) ভুক্তিগুলি শূন্য হলে তাকে ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলে।

(x) ব্যতিক্রমী ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Singular and Non-Singular Matrix): যে বর্গ ম্যাট্রিক্স এর মান শূন্য তাকে ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলে এবং যে বর্গ ম্যাট্রিক্স এর মান শূন্য নয় তাকে অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলে।

(xi) বিপরীত ম্যাট্রিক্স(Inverse Matrix): কোন ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বের করতে হলে, সংশ্লি¬ষ্ট ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বের করে এর সঙ্গে প্রত্যেকটি উপাদানের সহগুণক সারি বরাবর বের করে কলাম বরাবর লিখে যে ম্যাট্রিক্স (Adjoint Matrix) পাওয়া যায় তা গুণ করতে হয়।
Formula: যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে, A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স `A^{-1} = \frac{\1}{\|A|} . [Adj A] `
Notes: বিপরীত ম্যাট্রিক্স পাওয়ার শর্ত:
(i) সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সটিকে বর্গাকার হতে হবে
(ii) সংশ্লি¬ষ্ট ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক শূন্য হতে পারবে না।

Type – 1 : ম্যাট্রিক্সের যোগ এবং বিয়োগ-
দু’টি ম্যাট্রিক্সের ঙৎফবৎ সমান হলেই কেবলমাত্র তাদের মধ্যে যোগ বা বিয়োগ সম্ভব। ম্যাট্রিক্সের যোগ বা বিয়োগ বলতে প্রত্যেকটি অবস্থানের উপাদানের যোগ বা বিয়োগ বুঝায়।

Type – 2 : ম্যাট্রিক্সের গুণন সম্পর্কিত সমস্যা -

স্কেলার গুণন (Scalar Multiple of Matrices) : K যে কোন একটি ধ্র“বক সংখ্যা হলে kA বলতে এমন একটি ম্যাট্রিক্স বুঝায় যা A ম্যাট্রিক্সটির সকল ভুক্তির K গুণ।

ম্যাট্রিক্সের গুণন (Multiplication of matrices) : দুইটি ম্যাট্রিক্স কেবল তখনই গুণ করতে পারা যায় যখন প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হবে।